Conjeturas que implican el teorema de cuatro colores

El teorema de cuatro colores (4CT) establece que cada gráfico plano tiene cuatro colores. Hay dos pruebas dadas por [Appel, Haken 1976] y [Robertson, Sanders, Seymour, Thomas 1997]. Ambas pruebas son asistidas por computadora y bastante intimidantes.

Hay varias conjeturas en la teoría de grafos que implican 4CT. La resolución de estas conjeturas probablemente requiera una mejor comprensión de las pruebas de 4CT. Aquí hay una de estas conjeturas:

Conjetura : Sea un gráfico plano, sea ​​un conjunto de colores una involución libre de punto fijo. Deje ser tal que$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• $|L_v| \geq 4$ para todos $v \in V$ y
• si $\alpha \in L_v$ entonces $f(\alpha) \in L_v$ para todos $v \in V$ , para todos los $\alpha \in C$ .

Entonces existe una $L$ -Coloreado de la gráfica $G$ .

Si conoce tales conjeturas que implican 4CT, enumere una en cada respuesta. No pude encontrar una lista completa de tales conjeturas.

4CT es equivalente a:

• Colorear una hipergrafía inducida por una familia finita de discos (no necesariamente disjuntos en el interior, sino también discos que pueden tener solapamientos arbitrarios) con a lo sumo cuatro colores .$[1]$
• La proposición de que cada triangulación plana con más de tres vértices es la unión de dos gráficos bipartitos conectados, cada uno sin istmo .$[2]$
• Un problema combinatorio sobre el álgebra de productos cruzados de vectores tridimensionales .$[3]$
• La proposición de que la gramática G es totalmente ambigua .$[4]$
• Para cualquier número entero positivo , existe al menos una ruta señalizable que une dos permutaciones de S n .$n$$S_n$

• Se presenta un equivalente algebraico del teorema de cuatro colores. El equivalente es la afirmación de no pertenencia a una familia de polinomios en una familia de ideales polinomiales sobre un campo finito particular .$[6]$

  1. Smorodinsky S. Sobre el número cromático de hipergrafías geométricas .
  2. Mabry R. Gráficos bipartitos y el teorema de los cuatro colores .
  3. Kauffman LH Mapa para colorear y el producto vectorial cruzado .
  4. Cooper BJ y col. Hacia una prueba teórica del lenguaje del teorema de los cuatro colores .
  5. Eliahou S. y col. Permutaciones firmadas y el teorema de los cuatro colores .
  6. Howard L. Una reformulación algebraica del teorema de los cuatro colores .

George Gonthier de Microsoft Research Cambridge ha realizado otra verificación mecánica del teorema de 4 colores . La diferencia con su prueba es que todo el teorema se ha establecido y verificado mecánicamente utilizando el asistente de pruebas Coq, mientras que las otras pruebas contienen solo el cálculo del núcleo escrito en lenguaje ensamblador y C, y por lo tanto tienen el riesgo de tener errores. La prueba de Gonthier cubre tanto los aspectos de cálculo como los lógicos en solo 60,000 líneas de Coq.

He hablado sobre esto en mi blog y nuestra idea es: por ejemplo, la condición de Tait puede debilitarse porque hay una coloración que tiene como máximo o (n) errores. Ver aquí: http://rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

Mira T. Saaty, Trece variaciones coloridas en la conjetura de 4 colores de Guthrie, American Math. Mensual, 79 (1972) 2-43 para muchos ejemplos.

Además, en el libro de David Barnette Map Coloring, Polyhedra, and the Four-Color Problem, MAA, Dolciani Series, Volumen 8, 1983 se dan muchos ejemplos. Un resultado particularmente interesante en el libro de Barnete es: si siempre es posible truncar los vértices de un poliedro convexo para producir un poliedro convexo de 3 vales de modo que el número de lados de cada cara sea múltiplo de tres, implica que verdad de la conjetura de cuatro colores.

La conjetura de Hadwiger .

En el artículo Absolute Planar Retracts y Four Color Conjecture , Pavol Hell probó varias formulaciones equivalentes para el 4CT. Uno de ellos dice lo siguiente:

Cada gráfico plano es de 4 colores (El 4CT) si existe una retracción plana absoluta.

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

Cada gráfico plano cúbico sin puente es coloreable por 3 bordes. (Esto es equivalente a 4CT, debido a Tait).

El artículo de Dror Bar-Natan "Lie Algebras and the Four Color Theorem" (Combinatorica 17-1 (1997) 43-52, última actualización en octubre de 1999, arXiv: q-alg / 9606016 ) contiene una atractiva declaración sobre álgebras de Lie que es equivalente a El teorema de los cuatro colores. Las nociones que aparecen en la declaración también aparecen en la teoría de los invariantes de nudos de tipo finito (invariantes de Vassiliev) y 3-múltiples.

La Proposición 2.4 en este documento http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A# da otra formulación para el 4CT.

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

Vale la pena leer la descripción de alto nivel de la prueba automatizada de Gonthier, si está buscando más información.

Yuri Matiyasevich estudió varias reformulaciones probabilísticas del Teorema de los cuatro colores, que implican correlaciones positivas entre dos nociones de similitud entre coloraciones. Sus pruebas de equivalencia se basan en un polinomio gráfico asociado, que proporciona otro puntero probable a conjeturas que implican el teorema.

• Georges Gonthier, Prueba formal: el teorema de los cuatro colores , Avisos de la American Mathematical Society 55 (11) 1382–1393, 2008.
• Yuri Matiyasevich, One Equivalent Probabilistic of the Four Color Conjeture , traducción de papel en Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya 48 411–416, 2003.
• Yuri Matiyasevich, algunas reformulaciones probabilísticas de la conjetura de cuatro colores , Journal of Graph Theory 46 167–179, 2004. ( preprint )

Acabo de leer en un artículo de Chalopin y Gonçalves (STOC '09) la siguiente conjetura de West:

Cada gráfico plano es el gráfico de intersección de segmentos en el plano usando solo cuatro direcciones.

Dado que los segmentos paralelos forman un conjunto independiente en dicha representación, esta conjetura implica el 4CT, pero quizás sea aún más fuerte.

La referencia: Oeste, problemas abiertos . SIAM J Discrete Math Newsletter, 2 (1): 10-12, 1991.

Un snark es un gráfico cúbico sin puente conectado que no se puede colorear con 3 bordes. Después de wikipedia, la conjetura snark , que generaliza el 4CT, es la siguiente:

Cada snark tiene una subgrafía que se puede formar a partir del gráfico de Petersen subdividiendo algunos de sus bordes.

Nuevamente, según Wikipedia, una prueba de esta conjetura fue anunciada en 2001 por Robertson, Sanders, Seymour y Thomas.

"El etiquetado facial de los gráficos planos máximos" es el título de mi artículo anterior que se publicó recientemente en el que he transformado 4 colores de gráficos planos máximos en consistencia del etiquetado facial. El enlace al documento es http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdf

Como

LH Kauffman, Reformulación del teorema del color del mapa , Matemática discreta 302 (2005) 145–172

señala, el Principio de Primalidad debido a G. Spencer-Brown, así como la conjetura de Eliahou-Kryuchkov son reformulaciones equivalentes de la FCT.

• S. Eliahou, flips diagonales firmados y el teorema de los cuatro colores, European J. Combin. 20 (1999) 641–646.
• SI Kryuchkov, El teorema de los cuatro colores y los árboles, IV Kruchatov, Instituto de Energía Atómica, Moscú, 1992, IAE-5537/1.
• G. Spencer-Brown, Leyes de forma, Gesetze der Form, Bohmeier Verlag, 1997.

El documento de Garry Bowlin y Matthew G. Brin "Colorear gráficos planos a través de caminos coloreados en la Associahedra", revisado por última vez el 12 de mayo de 2013, arXiv: 1301.3984 math.CO contiene la siguiente conjetura en la página 26:

Conjetura 6.4. Para cada par de árboles binarios finitos (D, R) con el mismo número de hojas, hay una asignación de signo de D y una palabra w de símbolos de rotación válidos para D, de modo que Dw = R.

Se afirma que la conjetura 6.4 que sigue a proposiciones y teoremas anteriores en el documento es equivalente a 4CT.

A k -flow en un grafo no dirigido G es un grafo dirigido derivados mediante la sustitución de cada borde en G con un arco y asignándole un número entero entre -k y k , exclusivo, de tal manera que, para cada vértice en G, la suma de los números enteros asignado a los arcos que apuntan a ese vértice es igual a la suma de los enteros asignados a los arcos que apuntan. Un flujo K de NWZ (en ninguna parte cero) es un flujo k en el que no se ha asignado ningún arco al número 0.

Para cualquier gráfico plano G , el dual de G es el gráfico que contiene un vértice para cada cara en una incrustación plana de G , y dos vértices en un doble comparten un borde que los conecta para cada borde que las caras correspondientes en G comparten entre ellos en sus límites De acuerdo con el teorema de dualidad Flow-Coloring de Tutte, un gráfico plano sin istmo (es decir, un borde cuya eliminación aumentaría el número de componentes) tiene un flujo k NWZ si y solo si su dual es k- colourable. En otras palabras, un gráfico plano es 4-colourable si y solo si su dual tiene un flujo NWZ 4.

Tenga en cuenta que 4CT requiere que el gráfico plano en cuestión no tenga bucles (bordes que conectan cualquier vértice consigo mismo) porque cualquier gráfico con un bucle no puede ser coloreado con ningún conjunto de colores, ya que cualquier vértice con un bucle sería adyacente a un vértice del mismo color, independientemente de su color.

Estoy trabajando en esto:

Si puede probar el teorema de los mapas rectangulares, que son mapas hechos de hojas de papel superpuestas, también ha demostrado el 4ct. Además, solo se pueden considerar en la búsqueda mapas con caras que tengan los 5 bordes o más.

Ver http://4coloring.wordpress.com/ para más detalles.