¿Cuál es el número máximo de matrimonios estables para una instancia del problema de matrimonio estable?

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Problema de matrimonio estable: http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem

Soy consciente de que para una instancia de un SMP, son posibles muchos otros matrimonios estables, aparte del que devuelve el algoritmo Gale-Shapley. Sin embargo, si solo se nos da , el número de hombres / mujeres, hacemos la siguiente pregunta: ¿podemos construir una lista de preferencias que proporcione el número máximo de matrimonios estables? ¿Cuál es el límite superior de tal número? $n$

— asc
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Para una instancia con hombres y mujeres, el límite superior trivial es , y nada mejor se sabe. Para un límite inferior, Knuth (1976) da una familia infinita de instancias con emparejamientos estables de , y Thurber (2002) extiende esta familia a todos los . $n$ $n$ $n!$ $\Omega(2.28^n)$ $n$

— Serge Gaspers
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En realidad, creo que esta familia de instancias (para poderes de dos) se debe a Irving y Leather y que Knuth ha demostrado que la relación de recurrencia satisfecha por esta familia es

Ω ({2.28}^{n})

$\Omega(2.28^n)$

— gstat

1

RW Irving y P. Leather. La complejidad de contar matrimonios estables. SIAM Journal on Computing, 15: 655-667,1986

— gstat

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En mi tesis de maestría se incluye un límite superior en el número máximo de coincidencias estables para una instancia de Matrimonio estable y también se extiende al problema de Compañeros de cuarto estables. El límite es de magnitud y puede ser demostrado que en realidad es de magnitud $O(n!/2^n)$ . $O\left((n!)^\frac{2}{3}\right)$

El documento es el número de tesis 97 en la página http://mpla.math.uoa.gr/msc/

— gstat
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Se ha dado un límite superior exponencial en Anna R. Karlin, Shayan Oveis Gharan, Robbie Weber: un límite superior simplemente exponencial en el número máximo de coincidencias estables .

— domotorp
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4

Es bien sabido que una instancia de hombres / mujeres puede tener un número exponencial ( $n$ ) de coincidencias estables, pero todavía está abierto dar un límite superior ajustado. Ver Enciclopedia de algoritmoshttp://www.amazon.com/dp/0387307702 $O(2^n)$

— Snowie
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x_{n} = 3 x_{n / 2}^{2} - 2 x_{n / 4}^{4}

$x_n = 3x^2_{n/2} - 2x^4_{n/4}$

1

Se pueden encontrar resultados interesantes sobre este tema en las páginas 24 y 25 del libro: El problema del matrimonio estable de Dan Gusfield y Robert Irving, MIT Press, 1989.

— Joseph Malkevitch
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