Función eficientemente computable como contraejemplo a la conjetura de Mona de Sarnak

Recientemente, Gil Kalai y Dick Lipton escribieron un buen artículo sobre una conjetura interesante propuesta por Peter Sarnak, un experto en teoría de números e hipótesis de Riemann.

Conjetura. Sea la función de Möbius . Suponga que es una función con la entrada en forma de representación binaria de , luego $\mu(k)$ $f: \mathbb{N} \to \{-1,1\}$ $\mathsf{AC}^0$ $k$ $k$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = o (n) .$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = o(n) \text.$

Tenga en cuenta que si entonces tenemos una forma equivalente del teorema del número primo . $f(k) = 1$

ACTUALIZACIÓN : Ben Green en MathOverflow proporciona un breve documento que pretende probar la conjetura. Echa un vistazo al papel .

Por otro lado, sabemos que al establecer (con una ligera modificación para que el rango esté en ), la suma resultante tiene la estimación Hay un límite superior que se puede calcular en , por lo que la restricción propuesta en en la conjetura no se puede relajar a una función . Mi pregunta es: $f(k) = \mu(k)$ $\\{-1,1\\}$

\sum_{k \leq n} μ (k)^{2} = Ω (n) .

$\sum_{k \leq n} \mu(k)^2 = \Omega(n) \text.$

μ (k)

$\mu(k)$

U P \cap c o U P \subseteq N P \cap c o N P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP} \subseteq \mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

f (k)

$f(k)$

N P

$\mathsf{NP}$

¿Cuál es la clase de complejidad más baja que conocemos actualmente, de modo que una función en satisfaga la estimación En particular, dado que algunos de los teóricos creían que calcular no está en , ¿podemos proporcionar otras funciones que implica un crecimiento lineal en la sumatoria? ? ¿Se pueden obtener límites aún mejores? $\mathsf{C}$ $f(k)$ $\mathsf{C}$
$\sum_{k \leq n} μ (k) \cdot f (k) = Ω (n) ?$ $\sum_{k \leq n} \mu(k) \cdot f(k) = \Omega(n) \text{?}$ $\mu(k)$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $f(k)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fuente

Algunas clases cuánticas como P ^ {BQNC} también deberían funcionar, ya que el factoring se encuentra en esa clase.

— Robin Kothari

f (k) = k_{i}

$f(k) = k_i$

i

$i$

@Emanuele, buena pregunta. La función indicadora del bit i-ésimo en la representación binaria de k es un "polinomio de paréntesis" lineal, pero tiene coeficientes muy altos, por lo que podría no seguir el teorema de Green-Tao sobre la correlación de la función Mobius con acotado -sinsecuencias de pasos. Las secuencias nulas de paso limitado tienen polinomios de parche de grado limitado como casos especiales, pero su resultado podría tener algunas restricciones en las magnitudes de los coeficientes

— Luca Trevisan

f \in N C^{0}

$f \in NC^0$

f

$f$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$