Brecha de integralidad y relación de aproximación

Cuando consideramos un algoritmo de aproximación para un problema de minimización, la brecha de integralidad de una formulación de IP para este problema proporciona un límite inferior de una relación de aproximación para cierta clase de algoritmos (como el redondeo o el algoritmo primal-dual). De hecho, hay muchos problemas cuya mejor relación de aproximación coincide con la brecha de integralidad.

Algunos algoritmos pueden tener una mejor relación de aproximación que la brecha de integralidad para algún problema, pero no sé si ese ejemplo existe o no. Si la respuesta es sí, ¿podría dar algunos ejemplos?

Sé que algunos problemas admiten múltiples formulaciones matemáticas. En tales casos, considere la formulación matemática con la menor brecha de integralidad, siempre que pueda resolverse en tiempo polinómico (quizás algunas formulaciones pueden usar oráculos de separación).

Esta pregunta está relacionada con [la pregunta: La importancia de la brecha de integralidad] .

— Snowie
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Supongo que el TSP geométrico sería un ejemplo de tal problema, pero no tengo ninguna referencia.

— Jukka Suomela

¿Y qué pasa con los problemas que admiten un PTAS utilizando la estrategia de cambio? ¿Alguno de ellos tiene una formulación de IP con una brecha de integralidad arbitrariamente pequeña?

— Jukka Suomela

@Jukka Geométrico TSP es un buen ejemplo. El ejemplo de la brecha de integralidad 4/3 es una métrica de la ruta más corta en un gráfico plano, y debería ser posible convertirse en una instancia de Euclidean TSP o TSP en el plano con una brecha

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Luca Trevisan

Escuché que se mencionó como una pregunta abierta interesante si los PTAS para problemas en gráficos planos se pueden realizar mediante el uso de un número constante de niveles de relajaciones de Sherali-Adams o Lasserre. (Donde la constante depende de la relación de aproximación que se quiere lograr). Debe saberse, o al menos demostrarse con las técnicas actuales, que los problemas de gráficos que tienen PTAS en gráficos densos (por ejemplo, corte máximo) también tienen una familia de polinomios. relajaciones de tamaño con brechas de integralidad arbitrariamente pequeñas.

— Luca Trevisan

Pregunta relacionada: ¿Hay algún problema que se demuestre que cualquier LP de tamaño polinómico no puede dar la relación de aproximación más conocida actual? ¿Es posible probar tal cosa, incluso para algunos tipos restringidos de LP?

— Danu

Respuestas:

Como se señaló, hay bastantes ejemplos.

Un ejemplo clásico es la coincidencia máxima, donde la relajación "natural" (sin restricciones de conjunto impares) tiene una brecha de 2, mientras que, por supuesto, hay un algoritmo eficiente. Sin embargo, este no califica completamente, ya que hay un LP de tamaño exponencial que se puede resolver a través del elipsoide.

Una intrigante es la ubicación de las instalaciones capacitadas. Aquí la relajación natural tiene una brecha de integralidad ilimitada. Sin embargo, los algoritmos basados en búsquedas locales proporcionan aproximaciones de factores constantes.

Otro muy interesante (aunque es un problema de maximización) es este documento: http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . Aquí el LP tiene una gran brecha, y sin embargo, un algoritmo que usa ese LP puede hacerlo mejor.

— Kunal
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Muchas gracias. Esta respuesta contiene lo que estaba buscando, especialmente el documento FOCS escrito por Chakrabarty et al. (Este artículo me interesa mucho). Por lo tanto, establezco esta respuesta como aceptada. Sin embargo, todavía estoy buscando más ejemplos, por lo que cualquier persona que pueda dar otros ejemplos sería muy apreciada.

— Snowie

Hay varios ejemplos en los que una relajación de programación semidefinida permite una aproximación que es superior a las brechas de integralidad conocidas para relajaciones de programación lineal.

Por ejemplo, la relajación de programación lineal estándar de corte máximo tiene una brecha de integralidad de 1/2, y esto es cierto incluso para relajaciones de programación lineal mucho más sofisticadas (cf de la Vega-Kenyon y Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani), pero los Goemans -El algoritmo Williamson SDP tiene una aproximación de .878 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

Quizás menos conocido, Karloff y Zwick muestran que usar SDP uno puede aproximarse a Max 3SAT, en la versión en la que las cláusulas pueden tener 1, 2 o 3 literales, dentro de 7/8, mientras que Goemans y Williamson habían estudiado una relajación de programación lineal que solía probar una aproximación de 3/4 (Yannakakis había dado una aproximación de 3/4 anteriormente por otros métodos), y la relajación Goemans-Williamson LP de Max 3SAT se ve fácilmente que tiene una brecha de integralidad 3/4.

— Luca Trevisan
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También hay un resultado de Grant en la resolución de sistemas lineales sobre GF_2. Para los sistemas de ecuaciones con una buena solución, tiene una brecha de integralidad SDP (en una forma muy fuerte) de 2, mientras que puede usar Gaussian Elimination para resolver el problema exactamente.

— YI WU
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