La importancia de la brecha de integralidad

Siempre tuve problemas para comprender la importancia de la brecha de integralidad (IG) y sus límites. IG es la proporción de (la calidad de) una respuesta entera óptima a (la calidad de) una solución real óptima de la relajación del problema. Consideremos la cubierta de vértice (VC) como un ejemplo. Se puede afirmar que VC encuentra una solución entera óptima del siguiente conjunto de ecuaciones lineales:

Tenemos cero / uno variables de valor $x_v$ s para cada vértice $v \in V(G)$ de la gráfica $G$ . Las ecuaciones son: $0 \leq x_v \leq 1$ para $v\in V(G)$ y $1 \leq x_v+x_u$ para cada borde $uv \in E(G)$ . Estamos buscando valores que minimicen $\sum_{v \in V(G)} x_v$ .

La relajación de este problema permite valores reales entre $0$ y $1$ por lo que el espacio de soluciones es mayor y una solución real óptima puede ser más pequeña que una solución entera óptima que queremos encontrar. Por lo tanto, necesitamos realizar un proceso de "redondeo" en la respuesta real óptima obtenida de la programación lineal para encontrar una solución entera. La solución entera óptima estará entre la solución real óptima y el resultado del proceso de redondeo. IG es la relación de una solución entera óptima a una solución real óptima y no dice nada sobre el proceso de redondeo. El proceso de redondeo puede (en teoría) ignorar completamente la solución real y calcular la solución entera óptima directamente.

¿Por qué las personas están interesadas en probar los límites de IG?

$x$$x$

Entonces, ¿por qué no inventar otra relajación LP o cambiar a otras técnicas y seguir adelante? La programación lineal y convexa ha demostrado ser central para los algoritmos de aproximación; Para muchos problemas, la brecha de integralidad de una formulación LP o SDP natural es igual a la relación de aproximación del mejor algoritmo, así como a la dureza de la relación de aproximación. Esto es solo una observación empírica, pero significa que probar una brecha de integralidad puede sugerir consecuencias mucho más fuertes de un algoritmo mejorado o límite inferior.

Puede haber razones más profundas y rigurosas para este fenómeno. Por ejemplo, suponiendo la conjetura de los juegos únicos, se sabe que la relación de aproximación y la relación de inaproximabilidad para los problemas de satisfacción de restricciones es igual a la brecha de integralidad de una relajación simple de SDP (ver Algoritmos óptimos y Resultados de inaproximabilidad para cada CSP? Por Prasad Raghavendra)

$P \neq NP$

$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

$I$$I$

La brecha de integralidad es un indicador útil de qué tan bien se puede aproximar una IP. Sería mejor pensarlo de manera informal e intuitiva. Una gran brecha de integralidad implica que ciertos métodos no funcionarán. Ciertos métodos primarios / duales, por ejemplo, dependen de una pequeña brecha de integralidad. Para el LP Vertex Cover LP estándar estándar, el LP dual solicita una coincidencia máxima. En este caso, podemos hacer lo siguiente:

• encuentre una solución fraccional óptima para el LP doble (una coincidencia fraccional máxima)$\boldsymbol{y}$
• multiplique la solución por un factor de 2 (doble todos los pesos de borde)$\boldsymbol{y}$
• convierta esto en una integral factible para el LP primario (cada borde da la mitad de su peso del vector a cada uno de sus puntos finales en el vector , entonces cada es reemplazado con ).$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

En este caso, esta estrategia simple funciona y terminamos con una solución integral factible para el LP primario cuyo peso no es más del doble del peso de una solución factible para el LP dual. Dado que el peso de una solución factible para el LP doble es un límite inferior para OPT, este es un algoritmo de aproximación de 2.

Ahora, ¿dónde entra la brecha de integralidad? El IG es 2 en este caso, pero eso solo no implica que el algoritmo funcionará. Más bien, sugiere que podría funcionar. Y si el IG fuera más de 2, garantizaría que la estrategia simple no siempre funcionaría. Como mínimo, tendríamos que multiplicar la solución dual por el IG. Entonces, la brecha de integralidad a veces nos dice lo que no funcionará. La brecha de integralidad también puede indicar qué tipo de factor de aproximación podemos esperar. Una pequeña brecha de integralidad sugiere que investigar estrategias de redondeo, etc., podría ser un enfoque que valga la pena.

Para un ejemplo más interesante, considere el problema de Hitting Set y la poderosa técnica de aproximación del problema usando -nets (Brönnimann y Goodrich, 1995) . Muchos problemas pueden formularse como instancias de Hitting Set, y una estrategia que ha tenido éxito para muchos problemas es hacer esto, luego simplemente encontrar un buen buscador de redes, es decir, un algoritmo para construir pequeñas redes , y poner todo en marcha El meta-algoritmo de B&G. Entonces la gente (incluido yo mismo) trata de encontrar buscadores de red para instancias restringidas de Hitting Set que, para cualquier , pueden construir una -net de tamaño , donde la función$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$debe ser lo más pequeño posible. Tener es un objetivo típico; esto daría una aproximación .$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

Como resultado, la mejor función posible está limitada por la brecha de integralidad de cierto LP para Hitting Set (Even, Rawitz, Shahar, 2005) . Específicamente, las soluciones integrales y fraccionales óptimas satisfacen . Para instancias sin restricciones de Hitting Set, la brecha de integralidad es , pero al formular otro problema como Hitting Set, el IG puede ser menor. En este ejemplo, los autores muestran cómo encontrar -nets de tamaño$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$para las instancias restringidas de Hitting Set que corresponden al problema de golpear cajas paralelas al eje. De esta manera, mejoran el factor de aproximación más conocido para ese problema. Es un problema abierto si esto se puede mejorar o no. Si, para estas instancias restringidas de Hitting Set, el IG para Hitting Set LP es , sería imposible diseñar un buscador de red que garantice -nets de tamaño , ya que hacerlo implicaría la existencia de un algoritmo que garantiza conjuntos de golpes integrales de tamaño , pero desde$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$Esto implicaría una brecha de integralidad menor. Entonces, si la brecha de integralidad es grande, probar que podría evitar que las personas pierdan su tiempo buscando buenos buscadores de redes.

Cuando se te ocurre un algoritmo de aproximación para algún problema de maximización de NP-hard, hay varios valores que te pueden interesar: hay OPT, el valor óptimo de tu problema, que es lo mismo que OPT (IP), el óptimo valor de cualquier formulación correcta de IP de su problema. También existe OPT (LP), el valor óptimo de la relajación lineal de su IP.

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

Finalmente, está V, el valor de la solución que obtienes al redondear la solución LP. Le gustaría poder probar que para mostrar que su algoritmo es una aproximación , pero a menudo no es posible hacerlo directamente, ya que no tiene un Espera en el espacio de la solución. En cambio, lo que casi siempre se prueba es que . Por supuesto, esto implica , pero es más fuerte. En particular, si la brecha de integralidad de su formulación de IP es mayor que , la declaración anterior será falsa en general, ya que su procedimiento de redondeo termina con una solución integral.$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

Entonces, el quid es este: el LP le brinda una solución que usted sabe que es "buena", y desea redondearla a algo que sea "casi tan bueno". Si la brecha de integralidad es grande, esto es imposible en general, ya que nunca habrá un procedimiento que garantice obtener una solución integral que sea "casi tan buena" como una solución LP, porque a veces, ¡estos no existen!

Tiene razón en que la brecha de integralidad de una relajación no tiene nada que ver con ningún algoritmo de redondeo. Estas son dos nociones diferentes. Una brecha de integralidad es una propiedad de una relajación particular. Es decir, ¿cuánto más grande es el valor de esa relajación en comparación con el valor integral óptimo?

¿Por qué nos importan las relajaciones lineales / convexas? Aproximar eficientemente un valor integral. Por lo tanto, típicamente hablamos de relajaciones solo en casos en los que el valor óptimo es difícil de calcular y estamos interesados ​​en aproximaciones eficientes. Las brechas de integralidad nos muestran las limitaciones inherentes de lo que se puede lograr con tales técnicas.

Entonces, ¿por qué nos preocupamos por los algoritmos de redondeo además de la relajación? Utilizamos algoritmos de redondeo para resolver el problema algorítmico de encontrar una solución casi óptima en lugar de solo aproximar el valor de una solución óptima. Además, a menudo se utilizan algoritmos de redondeo para unir la brecha de integralidad de una relajación en primer lugar.

Técnicamente, la brecha de integralidad es para una formulación de IP específica, no (como la formuló) la relación entre la mejor relajación lineal y la solución óptima (que parece cuantificar sobre TODAS las formulaciones de IP).

Una brecha de integralidad es importante porque muestra los límites de la formulación particular de LP que se está utilizando. Si sé que una relajación particular tiene una brecha de integralidad de , entonces también sé que si alguna vez espero probar un límite mejor que , necesitaré usar una formulación diferente.$c$$c$

Hubo un documento muy interesante "Sobre la ventaja de la codificación de red para mejorar el rendimiento de la red", que mostró que la brecha de integralidad de la "relajación de corte bidireccional" para el problema del árbol Steiner equivale exactamente a un tipo de "ventaja de codificación" en la comunicación de red. No conozco muchos otros documentos similares. Sin embargo, también se debe tener en cuenta que se conocen relajaciones de LP aparentemente mejores para el problema del árbol de Steiner (por ejemplo, vea el nuevo algoritmo de aproximación basado en LP hipergráfico de Byrka et al en STOC 2010, también me ofrezco descaradamente como voluntario de que coautoré algunos artículos recientes que estudian el hipergráfico LP).

La mayoría de las respuestas ya han abordado la razón principal para preocuparse por la brecha de integralidad, a saber, que un algoritmo de aproximación basado únicamente en el uso del límite proporcionado por la relajación no puede demostrar una relación mejor que la brecha de integralidad. Permítanme dar otras dos razones meta por las cuales la brecha de integralidad es una guía útil. Para una gran clase de problemas de optimización combinatoria, la equivalencia de separación y optimización muestra que los algoritmos exactos están íntimamente relacionados con el casco convexo de las soluciones factibles para el problema. Así, la perspectiva geométrica y algorítmica están muy unidas entre sí. No se conoce una equivalencia formal similar para los algoritmos de aproximación, pero es una guía útil: los algoritmos van de la mano con relajaciones geométricas. La innovación algorítmica ocurre cuando las personas tienen un objetivo concreto para mejorar.