Encontrar un primo mayor que un límite dado

Es un algoritmo determinista de tiempo polinómico conocido para el siguiente problema:

Entrada: un número natural (en codificación binaria) $n$

Salida: un número primo . $p > n$

(Según una lista de problemas abiertos de Leonard Adleman, el problema se abrió en 1995).

— Vincenzo
fuente

+1: Me recordó que el problema de decisión natural correspondiente no es la prueba de primalidad (que está en

) sino el siguiente problema: dado

, ¿hay un número primo en el intervalo

P

$\mathbf{P}$

a < b

$a<b$

[a, b]

$[a,b]$

— Kaveh

@Kaveh: Supongo que tres dedos apuntando hacia mí. Deberíamos establecer una política que prohíba las respuestas en los comentarios;)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Respuestas:

El mejor resultado incondicional actual fue dada por Odlyzko, que encuentra un primer en tiempo. La fuerte conjetura en el proyecto Polymath4 busca resolver si esto se puede hacer en tiempo polinómico, bajo suposiciones teóricas de números razonables como el GRH. $p >N$ $O(N^{1/2 + o(1)})$

http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Actualmente el proyecto busca responder la siguiente pregunta:

Dado un número y un intervalo entre y , registro en el tiempo para algunos si el intervalo contiene un primo. $N$ $N$ $2N$ $O(N^{1/2 - c})$ $c>0$

Hasta ahora, tienen una estrategia que determina la paridad del número de primos en el intervalo.

http://polymathprojects.org/2010/06/29/draft-version-of-polymath4-paper/

— Cong Han
fuente

Suponiendo una conjetura estándar en la teoría de números, que establece que

Conjetura de Cramér : Sea la enésima prima. Entonces . $p_n$ $p_{n+1}-p_n = O(\log^2 p_n)$

Tenemos un algoritmo determinista de tiempo polinómico para el problema, simplemente ejecutando la prueba de primalidad en cada número mayor que comience desde . (Por supuesto, debería ser lo suficientemente grande; para pequeña tratamos por separado). $n$ $n+1$ $n$ $n$

Pero no estoy seguro de que esto se pueda probar incondicionalmente.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fuente

Tengo curiosidad por saber qué tan estándar es la conjetura de Cramér. Tenía la impresión de que las probabilidades estaban en contra.

— Cong Han

@Cong: No estoy realmente familiarizado con la conjetura, y mi impresión es que tenemos evidencias en resultados numéricos y también se cumple en el modelo aleatorio. ¿Hay alguna indicación de que la conjetura podría ser falsa? Tal vez debería decir 'fuerte' en lugar de 'estándar'.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: Sé muy poco sobre esto (además de algunos rumores y un interés pasajero en los proyectos Polymath), pero este artículo de Granville, vinculado desde el wiki en la conjetura, parece sugerirlo: dartmouth.edu/~ chance / chance_news / for_chance_news / Riemann / ...

— Cong Han

@Cong: Parece una buena lectura, ¡lo revisaré en unos días!

— Hsien-Chih Chang 張顯之