Contando el número de cubiertas de vértices: ¿cuándo es difícil?

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Considere el problema # P-completo de contar el número de cubiertas de vértices de un gráfico dado $G = (V, E)$ .

Me gustaría saber si hay algún resultado que muestre cómo la dureza de dicho problema varía con algún parámetro de (por ejemplo, ). $G$ $d = \frac{|E|}{|V|}$

Mi sensación es que el problema debería ser más fácil tanto cuando es escaso como cuando es denso, mientras que debería ser difícil cuando está "en el medio". ¿Es este realmente el caso? $G$ $G$ $G$

— Giorgio Camerani
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¿Desea contar todas las cubiertas de vértices o todas las cubiertas de vértices de cardinalidad mínima? Tenga en cuenta que el primer problema puede ser más fácil en algunos casos, ya que no necesariamente lo ayuda a resolver un problema de NP completo.

— Ryan Williams

Hola Ryan, sí, quiero contar todas las cubiertas de vértices. ¿Por qué dices "no necesariamente te ayuda a resolver un problema de NP completo" ? Si es # P-complete, ¿por qué no me ayuda a resolver problemas de NP-complete?

— Giorgio Camerani

@Walter, Las asignaciones de variables de conteo que satisfacen una fórmula 2SAT dada son # P-completa pero 2SAT está en P.

— Mohammad Al-Turkistany

@turkistany: Sí, ya lo sé ...

— Giorgio Camerani

@turkistany: ... pero entonces? Cualquier problema NP-completo que tenga, puedo convertirlo a SAT, luego SAT a #SAT, luego #SAT a # Monotone-2SAT (que es exactamente lo mismo que contar las cubiertas de vértices). Entonces, ¿por qué no debería poder resolver problemas NP-completos, dada la capacidad de contar las cubiertas de vértices?

— Giorgio Camerani

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El problema de #VC de calcular el número de cubiertas de vértices de un gráfico dado sigue siendo # P-difícil para gráficos de 3 regulares; ver por ejemplo [Greenhill, 2000].

Para demostrar que el problema sigue siendo #VC # P-duro para gráficos con un máximo de $c\cdot n$ bordes, donde $n$ es el número de vértices y $0<c<3/2$ , reducir de la caja 3 regular mediante la adición de una lo suficientemente grande conjunto independiente (de tamaño lineal). El número de cubiertas de vértices sigue siendo el mismo si agrega un conjunto independiente.

Del mismo modo, para mostrar que el problema sigue siendo #VC # P-duro para gráficos con al menos $c\cdot n^2$ bordes, donde $n$ es el número de vértices y $0<c<1/2$ , a reducir de #VC mediante la adición de una lo suficientemente grande componente de camarilla (de tamaño lineal). El número de cubiertas de vértices se multiplica por $p+1$ si agrega una camarilla de tamaño $p$ a un gráfico.

Catherine S. Greenhill: La complejidad de contar colores y conjuntos independientes en gráficos e hipergrafías dispersos . Complejidad computacional 9 (1): 52-72 (2000)

— Serge Gaspers
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Entonces, ¿la deducción es que #VC para gráficos cúbicos es # P-completo porque #IS es # P-completo?

— delete000

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Siguiendo la respuesta de Yaroslav, Luby y Vigoda fueron los primeros en mostrar un FPRAS para #IS bajo una condición de densidad (grado máximo 4, que supongo es más débil que el resultado de Weitz), mientras que Dyer, Frieze y Jerrum mostraron que no hay FPRAS para #IS si el grado máximo del gráfico es 25 a menos que RP = NP.

Referencias

Martin Dyer, Alan Frieze y Mark Jerrum. Al contar conjuntos independientes en gráficos dispersos. FOCS 1999.

Michael Luby y Eric Vigoda. Aproximadamente contando hasta cuatro. STOC 1997.

Véanse también las notas de la conferencia ETH de Jerrum, "Conteo, muestreo e integración: algoritmos y complejidad".

— RJK
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Por cierto, Alan Sly demostró inapproximability tiempo polinómico para el máximo grado = 6 - arxiv.org/abs/1005.5584

— Yaroslav Bulatov

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@Yaroslav: Gracias por la referencia. ¡Parece una buena lectura!

— RJK

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Con respecto a la complejidad de tiempo exponencial, los casos generales y casos con grado máximo constante son igualmente duro: El lema sparsification de Impagliazzo, Camas, Zane (2002) muestra que casos -Variable de -Sat puede reducirse a instancias de -Sat con a lo sumo cláusulas en el tiempo . Como se observó en el trabajo conjunto con Husfeldt y Wahlén, el lema de dispersión también funciona para las versiones de conteo de -Sat, y especialmente para el caso de contar $n$ $d$ $d$ $f(d,\epsilon)\cdot n$ $\exp(\epsilon n)$ $d$ $2$ -Sat (que es equivalente a contar conjuntos independientes y contar cubiertas de vértices).

$n$ $\exp(o(n))$

— Holger
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con respecto a su comentario final: ETH significa que SAT no puede resolverse en tiempo subexponencial, lo que por reducciones estándar implica que SET INDEPENDIENTE tampoco puede decidirse en tiempo subexponencial. Es entonces inmediato que ETH implica contar conjuntos independientes que tampoco se pueden hacer en tiempo subexponencial.

— András Salamon

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Decidir y contar el número de conjuntos independientes máximos es difícil bajo ETH a través de una reducción estándar conocida de 3SAT. Sin embargo, esta pregunta se trataba de contar todos los conjuntos independientes (es decir, no necesariamente el máximo) en un gráfico. La versión de decisión es trivial: el conjunto vacío siempre es un conjunto independiente. Compárese también con Hoffmann (2010) , quien demostró que no se pueden contar conjuntos independientes a tiempo

\exp (o (n / \log^{3} n))

$\exp(o(n/\log^3 n))$ a menos que ETH falle.

— Holger

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Conjunto es una cubierta de vértice si su complemento es un conjunto independiente, por lo tanto, este problema es equivalente a contar conjuntos independientes.

El conteo algebraico de conjuntos independientes es FPT para gráficos de ancho de camarilla acotado acotado. Por ejemplo, vea "Un polinomio entrelazado multivariado de Courcelle y su cálculo para gráficos de ancho de camarilla acotado", donde calculan una generalización del polinomio de independencia. Sumar coeficientes de polinomio de independencia da el número de conjuntos independientes.

Los gráficos con un grado máximo 3 pueden tener un ancho de camarilla ilimitado.

El recuento numérico de conjuntos independientes es manejable cuando el problema exhibe "decadencia de correlación". Dror Weitz ( STOC'06 ) proporciona un FPTAS determinista para contar conjuntos independientes ponderados en gráficos de grado máximo $d$ cuando el peso $\lambda$ es

λ < \frac{(Δ - 1)^{Δ - 1}}{(Δ - 2)^{Δ}}

$\lambda<\frac{(\Delta-1)^{\Delta-1}}{(\Delta-2)^\Delta}$

_{(source: yaroslavvb.com)}

Regular (unweighted) independent set counting corresponds to $\lambda=1$ so his algorithm gives FPTAS for number of vertex covers on graphs of maximum degree 5.

His algorithm is based on building a self-avoiding walk tree at each vertex, and truncating this tree at depth $d$ . Branching factor of self-avoiding walk trees determines the range of $\lambda$ for which small depth $d$ gives a good approximation, and formula above is derived by using maximum degree of the graph to upper bound this branching factor.

— Yaroslav Bulatov
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The problem with working with IS instead of VC is that the complement graphs may lose some nice properties one wants: for instance, "bounded degree at most k" becomes "with degree at least n-k", which is now dependent on the instance size. This may or may not be relevant.

— András Salamon

@András It is the vertex set that is being complicated, not the edge set.

— Tyson Williams