¿Gráficos planos de 3 colores en

Me preguntaba si se sabe que la tarea de buscar colores planos 3 es de complejidad $O\left(c^{\sqrt{n}}\right)$o inferior? Parece que sería una consecuencia intuitiva basada en los resultados del separador plano, pero enwikipediasolo menciona conjuntos independientes, árboles Steiner, ciclos hamiltonianos y TSP. A continuación incluyo un razonamiento que creo que casi logra este límite.

Con un diagrama de decisión reducido a cero, (ZDD), creo que puede obtener $O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)$, y tenía curiosidad por saber cómo podría hacerlo mejor. Lo que se me ocurrió es bastante rudimentario. Nota: en todo momento, el ZDD que describo es ternario, pero no creo que eso importe mucho. Para el ZDD, dado un orden,$L = \{v_1 \dots v_n\}$, de vértices a color, el número de nodos en el paso$i$será exponencial con respecto al tamaño de la frontera,$F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}$.

Para crear su orden $L$ , puede crear un árbol óptimo de descomposición de ramas, $b$ , en tiempo polinómico, que tiene un ancho como máximo $\sqrt{n}$ . Luego, seleccione una hoja aleatoria$v’$de$b$para que sea su raíz. Con un BFS, pondere cada borde$e$por el número de hojas no conectadas a$v’$si fuera a eliminar$e$de$b$. Luego, haga un DFS para finalmente crear$L$, siempre bajando por el borde más alejado de$v’$, eligiendo el que tenga menos peso si hay un empate y eligiendo arbitrariamente si todavía hay un empate. Cuando llegamos a una hoja,$(u,v)$agregue$u$/$v$a$L$si alguna no está en$L$. Let $c_i$ ser el componente inducida en $b$ por los vértices visitados cuando añadimos $v_i$ a $L$ . Entonces, $F_i$ está limitado por el ancho de la rama multiplicado por el número de aristas $x_i$ que debe eliminarse de $b$ para obtener el componente $c_i$ . $x$ está limitado aproximadamente por $log_2$ de los vértices en $b$ , que es lineal a $n$ ya que estamos tratando con gráficas planas.

Con eso, verifica los tres colores para cada nodo para cada una de las $n$ fronteras y listo.

Recomiendo leer las Secciones 7 y 14 en el excelente libro de Cygan, Fomin, Kowalik, Lokshtanov, Marx, Pilipczuk, Pilipczuk y Saurabh .

$3\sqrt{n}$$\frac{9\sqrt{n}}{2}$$3$$3^{\frac{9\sqrt{n}}{2}}\textrm{poly}(n)<141^{\sqrt{n}}$

$3$$2^{\Omega(\sqrt{n})}$$3$$3$$3$$2^{o(\sqrt{n})}$