Variante del problema posterior a la correspondencia

Probablemente esto sea bastante simple, pero considere el problema estándar de correspondencia posterior:

Dado y β 1 , ... , β N , encuentre una secuencia de índices i 1 , ... , i k tal que alpha i 1 ⋯ α i K = β i 1 ⋯ β i K . Esto es, por supuesto, indecidible.$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1}\cdots \beta_{i_K}$

Ahora, llamo a esto una 'variante', pero en realidad no lo es, esencialmente desecha la 'correspondencia'. De todos modos, considere la siguiente variante:

Dado y β 1 , ... , β N , encuentre dos secuencias de índices i 1 , ... , i K , j 1 , ... , j K de manera que α i 1 ⋯ α i K = β j 1 ⋯ ß j K . ¿Qué se puede decir sobre esta variante? Si esto es trivial, mis disculpas!$\alpha_1, \ldots, \alpha_N$$\beta_1, \ldots, \beta_N$$i_1, \ldots, i_K, j_1, \ldots, j_{K}$$\alpha_{i_1}\cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1}\cdots \beta_{j_{K}}$

Esta nueva versión, donde , es decidible.$K = K'$

Demostremos que el lenguaje $L := \bigcup_{k \geq 1} (A^k \ \cap \ B^k)$ es una CFL. Entonces, la capacidad de decisión se deriva de la capacidad de decisión del vacío de un CFL.

Diseñaremos un PDA para aceptar . En la entrada x , esta PDA intentará construir dos factorizaciones de x , uno utilizando palabras de A , y las otras utilizando palabras de B . Utilizará un contador en la pila para garantizar que estas dos factorizaciones tengan la misma longitud. Conceptualmente me referiré a la factorización A de x hasta el punto de sentarse encima de x y a la factorización B como sentado en la parte inferior de x . Entonces la pila contendrá n contadores si el valor absoluto de la diferencia de la cantidad de palabras coincidentes en la parte superior, menos la cantidad de palabras en la parte inferior, es$L$$x$$x$$A$$B$$A$$x$$x$$B$$x$$n$ . Necesitamos otro estado del PDA para registrar a qué corresponde el signo apropiado n (que nos dice si lafactorización A es más larga que lafactorización B , o viceversa).$n$$n$$A$$B$

A medida que escaneamos las letras de , adivinamos de forma no determinista una palabra t de A y una palabra u de B en la que comienza esta letra. Una vez que adivinamos, nos comprometemos a hacer coincidir el resto de t y u con x ; Si en algún momento nuestro partido falla, nos detendremos en esta elección no determinista. Así también mantenemos, en el estado de nuestra PDA, el sufijo de T y $x$$t$$A$$u$$B$$t$$u$$x$$t$$u$ que queda a la par.

A medida que escaneamos más letras, continuamos haciendo coincidir hasta llegar al final de o al final de u (o ambos). Cuando llegamos al final de una palabra, actualizamos la pila adecuadamente y luego adivinamos una nueva palabra para que coincida en la parte superior o inferior (o ambas).$t$$u$

Aceptamos si los sufijos que quedan por igualar están vacíos en la parte superior e inferior, y la pila no contiene contadores.

Podemos construir este PDA de manera efectiva, por lo que podemos decidir efectivamente si acepta algo o no (por ejemplo, convirtiendo efectivamente a una gramática y luego usando el método habitual para ver si G genera algo).$G$

Editar: También se puede convertir esto en un límite superior de cuán grande puede ser , en el peor de los casos. Creo que debería dar un límite superior de algo más o menos como 2 O ( l 2 ) , donde l es la suma de las longitudes de las palabras A y B .$k$$2^{O(l^2)}$$l$$A$$B$

Editar: ahora veo que el requisito de que y B sean conjuntos finitos también se puede relajar, al requisito de que A y B sean regulares (posiblemente infinitos). En este caso, en lugar de mantener el sufijo restante para que coincida en "top" y "bottom", mantenemos los estados del DFA respectivo en el que nos encontramos, después de procesar el prefijo de una posible palabra coincidente. Si llegamos a un estado final en "arriba" o "abajo", podemos decidir de forma no determinista volver al estado inicial para una nueva palabra adivinada. $A$$B$$A$$B$

$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K} = \beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$K = K'$

$A$$\alpha_{i_1} \cdots \alpha_{i_K}$$B$$\beta_{j_1} \cdots \beta_{j_{K'}}$$A \cap B$$A,B$