Sustitución hereditaria con una jerarquía universal.

He leído sobre la sustitución hereditaria del cálculo simple de Lambda y del marco lógico con términos y tipos distintos.

Me pregunto, ¿hay algún ejemplo de sustitución hereditaria en un sistema de tipo dependiente con una jerarquía universal? es decir, donde etc. $True : Set_0 : Set_1:Set_2$

Me pregunto en particular cómo establecer una medida de inducción en dicho sistema. La versión de tipo simple está disminuyendo estructuralmente en el tipo de la variable que se reemplaza. Esto no funciona con tipos dependientes, ya que para LF el papel que vinculé usa la eliminación simple de los términos, realizando inducción sobre la forma del tipo.

Sin embargo, borrar a tipos simples no funciona con una jerarquía de universos, ya que si tiene algo como esto:

$f : (x : Set_1)\to x \to True$ implica que
$f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

es decir, la aplicación de una función dio como resultado un tipo estructuralmente más grande.

Supongo que la solución tiene algo que ver con los índices del universo, pero si existe una técnica existente para establecer que la inducción está bien fundada, preferiría citarla en lugar de crear algo por mi cuenta.

— jmite
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Respuestas:

Aquí hay una referencia para el sistema predicativo F. La medida de hecho incluye el conjunto múltiple de niveles de universo en un tipo. No puedo decir mucho sobre si este enfoque se generaliza a la teoría del tipo dependiente predicativo.

— András Kovács
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A partir de noviembre de 2018, cómo hacer esto para las teorías de tipo dependiente con grandes eliminaciones es una pregunta abierta.

Establecer que la recursión está bien fundada no es tan malo; puedes usar el teorema de Pataraia para probar que existe el punto fijo que deseas. Vea los * Sistemas de tipo de construcción de Robert Harper sobre una semántica operacional para obtener instrucciones . (También puede hacerlo a través de una definición inductiva-recursiva).

La parte difícil es formular la sustitución hereditaria de una manera agradable: la dirección natural lo lleva a sustituir no un término, sino una sustitución completa por un contexto, y esto plantea muchas preguntas sobre cuándo y cómo establecer las propiedades de las cosas composiciones similares de sustituciones (hereditarias).

Si resultara imposible, estaría totalmente conmocionado. Sin embargo, en la actualidad nadie lo ha hecho. Si quieres trabajar en esto, te sugiero que te pongas en contacto con Andreas Abel, Dan Licata y Mike Shulman. (O yo, para el caso).

— Neel Krishnaswami
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¿No es la fuerza de consistencia de un teorema de sustituciones hereditarias para una teoría de tipos con una jerarquía universal bastante fuerte? Después de ir al teorema, ¿qué más se necesita para obtener la coherencia de la teoría?

— Andrej Bauer el

@NeelKrishaswami: ¿quieres decir que es un problema abierto incluso sin una jerarquía universal? ¿Cuánto asume exactamente sobre su teoría de tipos, precisamente?

— Andrej Bauer el

Secundo la confusión de @ AndrejBauer: ¿la definición de sustitución hereditaria no contiene implícitamente un argumento de terminación para la reducción de términos bien escritos? El argumento para los tipos simples parece incluso contener explícitamente un orden que disminuye cuando se lleva a cabo la sustitución, lo cual es complicado incluso para el Sistema T (está abierto si tal orden existe para SN) y sin esperanza para el sistema F.

— cody

@AndrejBauer: si escribe una operación de sustitución hereditaria, debe probar que finaliza antes de que realmente pueda llamarla una función. Es poco probable que la prueba de terminación sea terriblemente difícil, ya que puede demostrarse que MLTT con una jerarquía de universo contable se normaliza utilizando ZF acotado intuicionista. Lo que está abierto es en realidad dar la definición correcta de la operación de sustitución hereditaria. En este momento no está claro si se trata de un problema burocrático difícil o un problema difícil de punto y coma. Mi presentimiento es el primero, pero ¿quién puede decir realmente sin hacer el trabajo?

— Neel Krishnaswami

@Blaisorblade: sí, agregar grandes eliminaciones conduce a un gran salto en el poder expresivo de la teoría. Una vez que tenga grandes eliminaciones, la metateoría en la que demuestre consistencia / normalización debe apoyar la recursión-inducción como mínimo.

— Neel Krishnaswami