Cierre transitivo de una relación afín.

Estoy buscando trabajo para calcular el cierre transitivo de una relación afín en el siguiente sentido:

Sea la relación definida por un sistema de desigualdades lineales sobre las variables reales , es decir $R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ $x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n$

$R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ iff $A x_1\dots x_n x'_1\dots x'_n \leq b$

donde es una matriz y un vector . $A$ $m\times 2n$ $b$ $m$

Estoy buscando una representación simbólica de , donde $R^k$

$R^k(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ si existe tal que y . $y_1,\dots,y_n$ $R^{k-1}(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)$ $R(y_1,\dots,y_n,x'_1,\dots,x'_n)$

Como un ejemplo muy simple, considere

$R(x,x')$ iff y $x'\leq x+1$ $x'\geq \frac{1}{2} x$

En este caso, iff y $R^k(x,x')$ $x'\leq x+k$ $x'\geq \frac{1}{2^k} x$

Hay un caso especial fácil en el que todas las restricciones son igualitarias: entonces podemos aplicar la eliminación de Gauss para encontrar la transformación afín que asigna el al (dependiente) y calcular su ésima potencia. Pero, por supuesto, en general, no será funcional. $x_i$ $x'_j$ $k$ $R$

El problema también parece ser más fácil cuando describe ~~un politopo abierto como~~ un cono convexo, pero no puedo suponer esto. $R$

Editar: estoy buscando una forma paramétrica independiente del valor concreto de (como en el ejemplo del juguete). Para un valor dado de , una representación de siempre se puede obtener de y por eliminación de variables. $k$ $k$ $R^k$ $R^{k-1}$ $R$

ds.algorithms linear-algebra matrices

— warakawa
fuente

(1) "Cierre transitivo" suena como si estuviera buscando algo como R∪R ^ 2∪R ^ 3∪ ... pero supongo que este no es el caso y que está buscando la representación H de R ^ k para un determinado k. Estoy en lo cierto? (2) Perdón por mi ignorancia, pero ¿qué es un politopo abierto?

— Tsuyoshi Ito

Suponiendo que está buscando una representación H de R ^ k para una k dada, hay al menos un algoritmo ineficiente. Suponga que k = 2 por simplicidad (un k general puede manejarse de la misma manera). Sea P = {(x, x ′) | R (x, x ′)} el poliedro correspondiente a la relación R, y considere el producto cartesiano P × P = {(x, x ′, y, y ′) | R (x, x ′) ∧R (y, y ′)}. Como se nos da una representación H de P, tenemos una representación H de P × P. Agregue la ecuación x ′ = y, y proyecte las variables x ′ e y mediante la eliminación de Fourier-Motzkin (esto es ineficiente). Luego obtenemos una representación H de la relación R ^ 2.

— Tsuyoshi Ito

Gracias Tsuyoshi, de hecho, esta también fue mi primera idea. Esto proporciona un SLI (sistema de desigualdades lineales) para cualquier k dado. Estoy buscando una forma paramétrica que sea independiente del valor real de k.

— warakawa

Interesante. Creo que es mejor editar la pregunta para que las personas puedan entender que está buscando una forma paramétrica independiente del valor de k sin leer el comentario.

— Tsuyoshi Ito

Una respuesta en caso de que el monoide generado por para la multiplicación de matrices sea finito: Alain Finkel y Jérôme Leroux, Cómo componer aceleraciones previas a las hamburguesas : aplicaciones para protocolos de transmisión , en FSTTCS 2002 (Fundamentos de la tecnología de software y ciencias de la informática teóricas). Science 2556, páginas 145--156, DOI: 10.1007 / 3-540-36206-1_14 , 2002 (ver también las numerosas referencias allí). La relación está representada por una fórmula Presburger efectivamente computable. $A$ $R^k$

Una referencia más reciente sobre el tema de calcular el cierre transitivo es Marius Bozga, Radu Iosif y Filip Konečný, Aceleración rápida de las relaciones periódicas finales , en CAV 2010 (Verificación asistida por computadora), Lecture Notes in Computer Science 6174, páginas 227-- 242, DOI: 10.1007 / 978-3-642-14295-6_23 , 2010.

— Sylvain
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