El problema es el tiempo polinómico solucionable.
Después de discutir con Vivek Madan , podemos demostrar que la prueba del Teorema 5.1 en Perfect Matching in Bipartite Planar Graphs también está en UL en el contexto ponderado (su resultado es decidir si hay una solución factible).
RM|M∩R|CM|C∩R|MM△C
M△C
El problema se reduce a encontrar un ciclo alterno que contenga un número impar de bordes rojos.
Para los gráficos bipartitos, el problema es fácil, ya que puede reducirse a encontrar un ciclo impar de peso mínimo en un gráfico dirigido sin ciclos negativos. Lo que parece ser solucionable en tiempo polinómico por varias cuentas (pero no puedo encontrar una cita concreta). Un algoritmo similar a Floyd-Warshall es suficiente.
Para gráficos generales, un enfoque similar funciona, pero la reducción es un poco más complicada. En realidad, no sabemos cómo hacerlo para gráficos generales.
Tenga en cuenta que el caso del gráfico bipartito en realidad se desprende de un teorema más general. Aquí citamos directamente el siguiente problema de Artmann, Weismantel, Zenklusen 17
Paridad de optimización de TU
Trank(T)=nb∈>Zm,c∈Zn,α∈{0,1}S⊂[n]max{cTx:Tx≤b,x∈Zn≥0,x(S)≡α(mod2)}
La optimización de la paridad TU se puede resolver en tiempo polinómico, y el caso bipartito de nuestro problema se reduce a ello. (Tenga en cuenta que el se satisface fácilmente al requerir para todo ).rank(T)=nxi≥0i
No tenemos idea del caso en el que hay un número constante de colores.