Hice esta pregunta hace unas semanas en mathoverflow , pero no obtuve respuesta.
Aquí, por rejilla 3D de longitud de lado me refiero a la gráfica G = ( V , E ) con V = { 1 , ... , k } 3 y E = { ( ( a , b , c ) , ( x , y , z ) ) ∣ | a - x | + | b - y | + | C , es decir, los nodos se colocan en coordenadas enteras tridimensionales entre 1 yk , y un nodo está conectado a los otros 6 nodos como máximo que difieren exactamente en una coordenada por uno.
¿Cuál es el nombre de este gráfico? Usaré la cuadrícula 3D, pero tal vez la malla 3D o la red 3D son a lo que otras personas están acostumbradas.
¿Cuál es el ancho de árbol o ancho de ruta de este gráfico? ¿Ya está publicado en alguna parte?
Ya sé que , es decir, es realmente más pequeño que k 2 . Para mí, esto sugiere que los argumentos estándar que muestran que la cuadrícula 2D k × k tiene ancho de árbol y ancho de ruta k no se generalizarán fácilmente.
Para ver esto, consideramos una descomposición de ruta que "barre" la cuadrícula utilizando principalmente conjuntos de nodos de la forma . Observar | S c | ≤ ( 3 / 4 ) k 2 + O ( k ) , S 3 / 2 k siendo el más grande tal conjunto. Los conjuntos entre S c y se crean barriendo con una línea y necesitan O ( k ) nodos adicionales para ser separadores. Más precisamente, use los conjuntos S c , d = { ( x , y , z ) ∣ ( x + y + z = c ∧ x ≤ d ) ∨ ( x + y + z = c ∧ x ≥ d ) }como una descomposición camino de .
También tengo una idea para una prueba que muestra , pero aún no está terminada.