Complejidad de la computación de los caminos más cortos en el plano con obstáculos poligonales.

Supongamos que se nos da varios polígonos disjuntos simples en el plano, y dos puntos y fuera de cada polígono. El problema de la ruta más corta euclidiana es calcular la ruta más corta euclidiana desde hasta que no intersecta el interior de ningún polígono. Para ser concretos, supongamos que las coordenadas de y , y las coordenadas de cada vértice del polígono, son números enteros.t s t s $s$$t$$s$$t$$s$$t$

¿Se puede resolver este problema en tiempo polinómico?

La mayoría de los geómetras computacionales dirían inmediatamente que sí, por supuesto: John Hershberger y Subhash Suri describieron un algoritmo que calcula las rutas más cortas euclidianas en el tiempo , y este límite de tiempo es óptimo en el modelo de árbol computacional algebraico. Desafortunadamente, el algoritmo de Hershberger y Suri (y casi todos los algoritmos relacionados anteriores y posteriores) parece requerir una aritmética real exacta en el siguiente sentido.$O(n\log n)$

Llame a una ruta poligonal válida si todos sus vértices interiores son vértices de obstáculos; toda ruta más corta euclidiana es válida. La longitud de cualquier ruta válida es la suma de las raíces cuadradas de los enteros. Por lo tanto, comparar las longitudes de dos caminos válidos requiere comparar dos sumas de raíces cuadradas, lo que no sabemos cómo hacer en el tiempo polinómico .

Además, parece completamente plausible que una instancia arbitraria del problema de la suma de las raíces cuadradas pueda reducirse a un problema equivalente de camino más corto euclidiano.

Entonces: ¿Existe un algoritmo de tiempo polinómico para calcular las rutas más cortas euclidianas? ¿O es el problema NP-difícil? ¿O suma de raíces cuadradas duras ? ¿O algo mas?

Algunas notas

• Las rutas más cortas dentro (o fuera) de un polígono se pueden calcular en tiempo sin problemas numéricos extraños utilizando el algoritmo de embudo estándar, al menos si se da una triangulación del polígono.$O(n)$

• En la práctica, la aritmética de coma flotante es suficiente para calcular rutas que son más cortas hasta la precisión de coma flotante. Solo me interesa la complejidad del problema exacto .

• John Canny y John Reif demostraron que el problema correspondiente en 3 espacios es NP-hard (moralmente porque puede haber un número exponencial de caminos más cortos). Joonsoo Choi, Jürgen Sellen y Chee-Keng Yap describieron un esquema de aproximación de tiempo polinómico.

• Simon Kahan y Jack Snoeyink consideraron problemas similares para el problema relacionado de las rutas de enlace mínimo en un polígono simple.

Tal vez me pierda algo, pero si consideramos el caso "fácil", donde todos los obstáculos son puntos, entonces tenemos el problema de calcular el camino más corto entre dos vértices en un gráfico plano, que, si no estoy equivocado, es conocido como sumas de raíces cuadradas duras.

PD. Quería agregar un comentario y no una respuesta, pero no puedo encontrar cómo. Pido disculpas por eso. ¿Pueden los administradores ayudarme con esto?