La coincidencia máxima M con la condición G [M] está libre de 2K_2

¿Hay algo en la literatura cercano al siguiente problema:

Dado un gráfico bipartito con bipartición equilibrada , ¿existe una coincidencia perfecta en manera que por cada 2 aristas , exista una arista o arista? (o ambos) en ?{ U , W } M G u 1 w 1 , u 2 w 2 ∈ M u 1 w 2 u 2 w 1$G(V,E)$$\{U,W\}$$M$$G$$u_1w_1, u_2w_2\in M$$u_1w_2$$u_2w_1$$G$

En otras palabras, ¿existe una coincidencia perfecta tal que la inducida esté ? (Con bipartición equilibrada, quise decir .)G [ M ] 2 K 2 | U | = | W $M$$G[M]$$2K_2$$|U|=|W|$

La condición adicional es algo así como un extremo opuesto al que se usa en el problema de coincidencia inducida. Otro posiblemente relacionado es el problema de encontrar el tamaño máximo que coincida con en el gráfico bipartito modo que la contracción de los bordes en minimice el número de bordes que quedan en el gráfico.G $M$$G$$M$

Revisé la lista de problemas relacionados con la coincidencia dada por Plummer en Emparejamiento y empaque de vértices: ¿qué tan "difíciles" son? sin éxito.

PD: Este problema es un caso especial de este problema de decisión: - Para un determinado , ¿existe una coincidencia máxima de un gráfico bipartito tal que esté y . Si el gráfico de entrada es bipartito equilibrado, obtenemos el problema anterior. M G G [ M ] 2 K 2 | M | > k k = | U $k\in\mathbb{N}$$M$$G$$G[M]$$2K_2$$|M|>k$$k=|U|$

Gracias.

¡Sorpresa! (para mi).
Este tipo de coincidencias ya se estudian en la literatura. Se llaman emparejamientos conectados .

Fueron presentados por Plummer, Stiebitz y Toft en su estudio sobre la conjetura de Hadwiger. Vea el capítulo "Emparejamientos conectados" de Cameron en el libro "Optimización combinatoria - ¡Eureka, te encoges!"

El estado de las coincidencias conectadas en gráficos bipartitos (no necesariamente equilibrado) está abierto a mi leal saber y entender (actualizaré ). La versión ponderada del problema es NP-complete para gráficos bipartitos. El problema es el tiempo polinómico solucionable para gráficos bipartitos cordales.

Actualización: el problema es NP-completo para gráficos bipartitos equilibrados (es decir, el problema exacto formulado en la pregunta). Esto se demuestra en el documento " Capacidad multitarea: resultados de dureza y construcciones mejoradas " de Alon et al. También informan que encontrar el tamaño de una coincidencia conectada más grande es difícil de aproximar dentro de un factor de menos que NP = co-RP.$n^{1-\epsilon}$

Notas agregadas anteriormente (guardadas para las personas interesadas):
" Emparejamientos conectados en gráficos bipartitos cordales " por Jobson et al. (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) y " Emparejamientos conectados en familias especiales de gráficos " por Caragianis (tesis) son dos referencias notables.

Hay otra forma de hacer esta pregunta. ¿Existe una coincidencia perfecta de un gráfico bipartito equilibrado modo que cada par de aristas en esté exactamente a una distancia 1 entre sí en ? (La distancia entre los bordes y es la longitud de un camino más corto desde un vértice de hasta un vértice de ).G M G e e ′ e e $M$$G$$M$$G$
$e$$e’$$e$$e’$

Debido a esto, la condición adicional se reduce a encontrar un subconjunto de vértices del gráfico de líneas de que están en pares exactamente a una distancia 2. Por lo tanto, el problema de encontrar un conjunto de vértices de tamaño máximo a una distancia exactamente 2 de cada otro es un problema candidato (para estar cerca del problema en cuestión). En el artículo reciente sobre los aspectos algorítmicos de la subcoloración fuerte (por MA Shalu, S. Vijayakumar, S. Devi Yamini y TP Sandhya), llaman a este problema un conjunto sólido.$L(G)$$G$

Se sabe que el problema del conjunto de Stong es NP-completo en algunas clases de gráficos. No sé su estado en gráficos de líneas de gráficos bipartitos. El documento dice que es NP-complete en gráficos bipartitos. Nuestro interés aquí estará en la clase de gráficos lineales de gráficos bipartitos.