Jerarquía alterna del espacio

Gracias a Immerman y Szelepcsényi, se sabe que if (incluso para funciones construibles que no son espaciales).${\rm NSPACE}(f)={\rm coNSPACE}(f)$$f=\Omega(\log)$

En el mismo documento, Immerman declara que la jerarquía alterna del espacio de registro se colapsa, esto significa que (la definición de la máquina de turing alterna delimitada y de qué es una jerarquía se puede encontrar en wikipedia ).$\Sigma_j{\rm SPACE}(\log)={\rm NSPACE}(\log)$

¿Hay algún documento sobre la jerarquía de espacio alterno para ? Le pregunté la semana pasada a Immerman que no recordaba haber leído algo así. En inglés, me gustaría saber si hay alguna prueba escrita de que el uso de cualquier lenguaje que pueda ser decidido por una máquina de Turing con j alternancias tambiénpuede ser decidido por una máquina de Turingno determinista con el mismo espacio limitado.$f=\Omega(\log)$$j$

Mi pregunta es realmente sobre encontrar una referencia, porque creo que descubrí la prueba; pero supongo que ya se sabe.

Tal vez debería decir cuáles creo que son los dos problemas principales. Primero si , digamos f = log 2 , entonces es imposible componer a S P A C E ( f ) TM para obtener un S P A C E ( f ) TM, lo que podríamos hacer con L O G S P A C E TM. En segundo lugar, hay un argumento para el caso f = O ( n $f=O(n)$$f=\log^2$$SPACE(f)$$SPACE(f)$$\rm{LOGSPACE}$$f=O(n)$y uno para pero todavía hay algún problema para la función que no son O ( n ) ni Ω ( n ) .$f=\Omega(n)$$O(n)$$\Omega(n)$

Sea - S P A C E ( a ( n ) , s ( n ) ) la clase de problemas que se pueden resolver con a ( n ) alternancias en el espacio s ( n ) . Durante el apogeo de la teoría de la complejidad paralela, esta clase surgió con bastante frecuencia.$ALTS$$SPACE(a(n),s(n))$$a(n)$$s(n)$

Por ejemplo, la clase es solo A L T - S P A C E ( log n , log n ) . Así que imagino que hay muchos documentos sobre su tema, aunque es posible que no estén escritos en la notación que está utilizando.$AC^1$$ALT$$SPACE(\log n, \log n)$

Para el resto de su pregunta, creo que uno debería ser capaz de probar - S P A C E ( a ( n ) , log n ) ⊆ N S P A C E ( a ( n ) log n ) directamente de Immerman-Szelepcsényi.$ALTS$$SPACE(a(n),\log n) \subseteq NSPACE(a(n) \log n)$

Más generalmente, el método Immerman-Szelepscényi da que está en N S P A C E ( a ( n ) s ( n ) ) . La idea de la prueba es: Calcular el número de configuraciones alcanzables en la primera alternancia; de cada estado accesible, calcule el número de configuraciones accesibles en la segunda alternancia; e iterar a ( $ALTSPACE(a(n),s(n))$$NSPACE(a(n)s(n))$ veces retrocediendo de la manera "obvia". Cada iteración usa soloespacio s ( n ) para almacenar los recuentos de configuraciones accesibles.$a(n)$$s(n)$

La combinación de esto con el teorema de Savitch da los siguientes resultados:

Corolario: está en S P A C E ( ( log n ) 4 ) . En términos más generales, un lenguaje computable en el espacio pollogarítmico con muchas alternancias pollogarítmicamente es computable en el tiempo pollogarítmico determinista.$ALTSPACE(\log n, \log n)$$SPACE((\log n)^4)$

Corolario: de manera similar, un lenguaje computable en el espacio polinomial con polinomialmente muchas alternancias está en el espacio polinomial determinista.

$ALTSPACE$$STA$

[B] L. Berman, "La complejidad de las teorías lógicas", Theoretical Computer Science 11 (1980) 71-77.