Teorema de Cantor en teoría de tipos

El teorema de Cantor establece que

Para cualquier conjunto A, el conjunto de todos los subconjuntos de A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que A en sí.

¿Es posible codificar algo como esto usando solo tipos / proposiciones sin hacer referencia a conjuntos ZFC? Se agradecería el código o pseudocódigo para codificar esta proposición en un lenguaje de tipo dependiente.

type-theory set-theory

— Paula Vega
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Respuesta corta: si! No necesita tanta maquinaria para obtener la prueba.

Una sutileza: parece que hay un uso del medio excluido: uno construye un conjunto y un número , y muestra que o que lleva a una contradicción . Pero hay un lema, cierto en la lógica intuicionista, que dice: $D$ $d$ $d\in D$ $d\not\in D$

for all statements P, (P ⟺ \neg P) \Rightarrow ⊥

$\mbox{ for all statements } P, (P\iff \neg P) \Rightarrow \bot$

Esto es suficiente, junto con la prueba habitual. Tenga en cuenta que, en general, la "sobreyección" puede tener algunos matices sutiles en la lógica constructiva / intuicionista (sin opción), por lo que debe hacerlo con "derecho invertible".

Una prueba muy estándar en Coq (que por alguna razón no pude encontrar en línea) podría ser la siguiente:

Inductive right_invertible {A B:Type}(f : A->B):Prop :=
| inverse: forall g, (forall b:B, f (g b) = b) -> right_invertible f.


Lemma case_to_false :  forall P : Prop, (P <-> ~P) -> False.
Proof.
  intros P H; apply H.
    - apply <- H.
      intro p.
      apply H; exact p.
    - apply <- H; intro p; apply H; exact p.
Qed.


Theorem cantor :  forall f : nat -> (nat -> Prop), ~right_invertible f.
Proof.
  intros f inv.
  destruct inv.
  pose (diag := fun n => ~ (f n n)).
  apply case_to_false with (diag (g diag)).
  split.
  - intro I; unfold diag in I.
    rewrite H in I. auto.
  - intro nI.
    unfold diag. rewrite H. auto.
Qed.

Por supuesto, el marco "correcto" en el que pensar acerca de estos asuntos, que pueden verse como los requisitos mínimos para que esta prueba pase, es el teorema del punto fijo de Lawvere que establece que el teorema se mantiene en cada categoría cerrada cartesiana (así en particular, en cualquier teoría de tipo razonable).

Andrej Bauer escribe maravillosamente sobre este teorema en el documento Sobre teoremas de punto fijo en computabilidad sintética , y sospecho que podría tener algunas cosas interesantes para agregar a esta respuesta.

— cody
fuente

Si entiendo correctamente, en su definición de cantor, natdesempeña el papel de "cualquier conjunto A" y nat -> Propdesempeña el papel de "el conjunto de todos los subconjuntos de A". ¿Cuáles serían las implicaciones de reemplazar nat -> Propcon nat -> bool? Supongo usando Propes más apropiado en la lógica constructiva, pero la lógica clásica y la teoría de conjuntos a menudo asumen excluido medio, así que debemos ser capaces de reemplazar Propcon booly aún así ser capaz de demostrar el teorema, ¿verdad?

— Paula Vega

Sí, reemplazar Prop por bool funciona bien usando el mapa de negación. El teorema del punto fijo de Lawvere muestra que puede hacerlo con cualquier tipo A que tenga un mapa A -> A sin puntos fijos, por lo que un tipo con 3 elementos o tipo de todos los números naturales también funciona

— Max New

@PaulaVega Max lo dice todo, pero recomiendo jugar con el ejemplo, por ejemplo, usar en boollugar de Propy naty diag := fun b => negb (f b b), o simplemente reemplazar Propcon naty usar diag := fun n => (f b b) + 1.

— cody