Vector binario

Tengo un conjunto de vectores binarios S = { s 1 , ... , s n } ⊆ { 0 , 1 } k ∖ { 1 k } y un vector objetivo t = 1 k, que es el vector de todos.$n$$S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$$t = 1^k$

Conjetura: Si puede escribirse como una combinación lineal de elementos de S sobre Z / q Z para todas las potencias primarias q , entonces t puede escribirse como una combinación lineal de S sobre Z , es decir, hay una combinación lineal con coeficientes enteros que sumas a t más de Z .$t$$S$$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ $q$$t$$S$$\mathbb{Z}$$t$$\mathbb{Z}$

¿Es esto cierto? ¿Le resulta familiar a alguien? Ni siquiera estoy seguro de qué palabras clave usar al buscar literatura sobre este tema, por lo que se agradece cualquier aporte.

Observe que lo contrario ciertamente es válido: si para enteros a i , entonces evaluar la misma suma mod q para cualquier módulo q todavía da igualdad; por lo tanto, una combinación lineal con coeficientes enteros implica la existencia de una combinación lineal para todos los módulos.$t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$$a_i$$q$$q$

Editar 14-12-2017 : La conjetura fue inicialmente más fuerte, afirmando la existencia de una combinación lineal sobre siempre que t es una combinación lineal mod q para todos los primos q . Esto habría sido más fácil de explotar en mi aplicación algorítmica, pero resulta ser falso. Aquí hay un contraejemplo. s 1 , ... , s n están dados por las filas de esta matriz:$\mathbb{Z}$$t$$q$$q$$s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Mathematica verificó que el vector está en el lapso de estos vectores mod q para los primeros 1000 primos, lo cual considero evidencia suficiente de que este es el caso para todos los primos. Sin embargo, no existe una combinación lineal entera sobre Z : la matriz anterior tiene rango completo sobre R y la forma única de escribir ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ) como una combinación lineal de $t = (1,1,1,1,1,1)$$q$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$(1,1,1,1,1,1)$ sobre R es el uso de coeficientes ( 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 , - 1 / 2 , - 1 / 2 , 1 / 2 ) . (Sinembargo,no puede escribir t como una combinación lineal de estos vectores mod 4 , por lo que no contradice la forma actualizada de la conjetura).$(s_1, \ldots, s_6)$$\mathbb{R}$$(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$$t$$4$

La conjetura revisada es cierta, incluso bajo restricciones relajadas en y t; pueden ser vectores enteros arbitrarios (siempre que el conjunto S sea ​​finito). Tenga en cuenta que si organizamos los vectores desde S en una matriz, la pregunta simplemente se refiere a la capacidad de solución del sistema lineal S x = t en los enteros, por lo tanto, formularé el problema como tal a continuación.$S$$t$$S$$S$

$S\in\mathbb Z^{k\times n}$$t\in\mathbb Z^k$$Sx=t$$\mathbb Z$$\mathbb Z/q\mathbb Z$$q$

Esto se puede probar al menos de dos maneras.

Prueba 1:

$p$$p^m$$p$ $\mathbb Z_p$$p^m$$p^{m'}$$\mathbb Z_p$

$\exists x\,Sx=t$$1$$t$$(\mathbb Z,+,1)$$\mathbb Z$

1. La teoría de los grupos abelianos libres de torsión,

2. $\forall x\,px\ne1$$p$

3. $\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$$p$

$\hat{\mathbb Z}$$(\mathbb Z,+,1)$$(\hat{\mathbb Z},+,1)$$Sx=t$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

$(\mathbb Z,+,1)$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

Prueba 2:

$M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$$N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$$S'=MSN$$t'=Mt$$x$$Sx=t$$x'=N^{-1}x$$S'x'=t'$$x'$$S'x'=t'$$x=Nx'$$Sx=t$$M,M^{-1},N,N^{-1}$

$S$$k\ne n$$Sx=t$$\mathbb Z$

1. $s_{ii}$$S$$t_i$$t$$s_{ii}$

2. $i$$i$$S$$t_i\ne0$

$q$$q\nmid t_i$$q\mid s_{ii}$$Sx=t$$\mathbb Z/q\mathbb Z$