¿Relación cuadrática entre espacio no determinista y determinista?

El teorema de Savitch muestra que para todas las funciones suficientemente grandes , y demostrar que esto es estricto ha sido un problema abierto durante décadas .$\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$

Supongamos que abordamos el problema desde el otro extremo. Por simplicidad, asuma el alfabeto booleano. La cantidad de espacio utilizado por un TM para decidir un lenguaje computable a menudo está estrechamente relacionado con el logaritmo del número de estados utilizados por el autómata que simula el TM para cada segmento regular de un lenguaje. Esto motiva la siguiente pregunta.

Sea el número de DFA sintácticamente distintos con n estados, y sea N_n el número de NFA distintos con n estados. Es sencillo mostrar que \ lg N_n está cerca de (\ lg D_n) ^ 2 . n N n n lg N n ( lg D n ) $D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

Además, deje que $D_n'$ sea ​​el número de idiomas regulares distintos que un DFA puede reconocer con $n$ estados, y deje que $N_n'$ sea ​​el número reconocido por un NFA.

¿Se sabe si $\lg N_n'$ está cerca de $(\lg D_n')^2$ ?

No está claro para mí cómo $D_n$ y $D_n'$'o $N_n$ y $N_n'$ , están relacionados entre sí, o cómo de cerca. Si todo esto se relaciona con una pregunta bien conocida en la teoría de autómatas, se agradecería una pista o puntero. La misma pregunta también es relevante para los autómatas bidireccionales, debido al mismo razonamiento, y estoy especialmente interesado en esta versión.

En mi trabajo con Domaratzki y Kisman, "Sobre el número de idiomas distintos aceptados por autómatas finitos con n estados" publicado en J. Automata, Languages, and Combinatorics 7 (2002) probamos que si es el número de idiomas aceptados por los NFA con estados sobre un alfabeto -letter, y es similarmente el número de idiomas distintos aceptados por los DFA, luego para fijo$G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i) es, hasta términos de orden más pequeños, asintóticamente$\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii) es, hasta términos de orden más pequeño, asintóticamente entre y .$\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$