¿Hay lenguajes NP o P completos altamente simétricos?

¿Existe , un lenguaje completo NP o P que tiene una familia de grupos de simetría (o grupoide , pero luego las preguntas algorítmicas se vuelven más abiertas) actuando (en tiempo polinómico) en conjuntos tal que hay pocas órbitas, es decir, tal que para suficientemente grande algunos$L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$ , y tal que puede generarse dado n eficientemente?$G_n$$n$

El punto aquí es que si uno encuentra un idioma / grupo como este, y si puede encontrar formas normales bajo acciones de grupos de tiempo polinomiales en , entonces puede reducir L por una reducción P T I M E a un lenguaje disperso calcular la forma normal para cualquier N dado , lo que implica que P = N P o L = $\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$, dependiendo de si eligió un lenguaje NP o P completo inicialmente, respectivamente. Por lo tanto, parece que no existen tales grupos con órbitas dispersas o que calcular formas normales es difícil para todos esos grupos o que uno de estos resultados se mantendrá, lo que creo que la mayoría de nosotros no cree. También parece que si uno puede calcular la relación de equivalencia sobre las órbitas en lugar de las formas normales, todavía podría hacerlo de manera no uniforme, en . Esperando que otras personas tengan pensamientos sobre esto.$\mathrm{P/poly}$

Para NP, esto parece difícil de construir. En particular, si también puede muestrear elementos (casi) uniformes de su grupo, lo cual es cierto para muchas formas naturales de construir grupos, entonces si un lenguaje NP-completo tiene una acción de grupo poli-tiempo con pocas órbitas, el PH colapsa. Para, con esta suposición adicional sobre la capacidad de muestreo, el protocolo estándar para el isomorfismo gráfico también funciona para probar si dos cadenas están en el mismo órbita G n . Entonces tendríamos N P ⊆ c o A M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$ , por lo colapsos pH a Z P P N P . Por lo tanto, para evitar el colapso del PH, cualquier construcción de este tipo para NP necesitaría que los gruposnotuvieran una muestra eficiente y casi uniforme.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

Mi intuición es que un lenguaje NP-completo de este tipo causaría un colapso de la jerarquía polinómica muy similar al del teorema de Karp-Lipton.

Más específicamente, si sube al segundo nivel de la jerarquía polinómica, puede usar el poder de la jerarquía para adivinar la equivalencia entre un elemento de grupo dado y algún representante de una clase de equivalencia, y luego vuelve al Karp - Caso de Lipton donde el hecho de que tenga polinomialmente muchas entradas no equivalentes lo coloca en P / poli.

(El resultado debería ser el mismo que el de la respuesta de Joshua Grochow, pero sin el supuesto adicional de capacidad de muestreo).