¿La Ley del Medio Excluido implica el Axioma K en la Teoría del Tipo Intensional de Martin-Löf?

Así que me he estado preguntando si la Ley del Medio Excluido (LEM) implica el llamado Axioma K en la Teoría del Tipo Intensional de Martin-Löf. El Axioma K afirma que De hecho, he estado tratando de demostrar la afirmación más general de que

Π_{A : T y p e} Π_{x : A} Π_{p : Id (x, x)}, Id (p, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

pero después de reducir

por inducción de igualdad, estoy atrapado en el primer problema. También intenté proceder por contradicción, pero no parece funcionar.

Π_{A : T y p e} Π_{x, y : A} Π_{p, q : Id (x, y)}, Id (p, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

¿Es esto demostrable en absoluto?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
fuente

$K$

Su segundo principio se conoce como UIP o Uniqueness of Identity Proofs. Es equivalente a Axiom K, consulte el Teorema 7.2.1 en el libro HoTT (solo desplácese hacia arriba desde 7.2.5 por una página). Ninguno de estos puede derivarse en la teoría del tipo intensional de Martin-Löf, por un famoso resultado de Thomas Streicher y Martin Hofmann .

— Andrej Bauer
fuente

Aprovecharé esta oportunidad para mencionar la elegante prueba de Alan Schmitt que destaca claramente el ingrediente clave: la capacidad, dada una prueba de igualdad, de producir una canónica.

— gallais

Sin embargo, también vale la pena señalar que, como también se señaló en el Libro de HoTT, hay una forma más débil de "LEM" que no implica K y podría decirse que es lo que los matemáticos realmente quieren decir con LEM, es decir, LEM restringido a tipos subsingleton.

— Mike Shulman