¿Se conoce asintóticamente la complejidad de Kolmogorov de las tablas de verdad del problema de detención?

Deje $HALT_n$ denotar la cadena de longitud $2^n$ correspondiente a la tabla de verdad del problema de detención para entradas de longitud $n$ .

Si la secuencia de las complejidades de Kolmogorov $K(HALT_n)$ fuera $O(1)$ , una de las cadenas de consejos se usaría infinitamente y una TM con esa cadena codificada sería capaz de resolver uniforme infinitamente frecuente , que sabemos que no es el caso.$HALT$

Una inspección más cercana del argumento de diagonalización en realidad muestra que es al menos , por lo que junto con el límite superior trivial, tenemos:$K(HALT_n)$$n - \omega (1)$

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

Este límite inferior se observa en la introducción de un artículo reciente de Fortnow y Santhanam `` Nuevos límites inferiores no uniformes para clases de complejidad uniforme '' , y lo atribuyen al folklore. Básicamente, si la cadena de consejos es más corta que la longitud de entrada, aún podemos diagonalizar contra máquinas con como máximo esa cantidad de consejos.

(Editar: en realidad, en una versión anterior del documento lo atribuyeron al folklore, supongo que ahora solo dicen que es una adaptación de Hartmanis y Stearns).

En realidad, en ese documento se preocupan por los teoremas de la jerarquía de tiempo, y establecen cosas relativas a un recurso limitado por $t$ pasos de tiempo, en lugar de la complejidad sin restricciones de Kolmogorov. Pero, la prueba del resultado del `` folklore '' es la misma en el caso sin restricciones.

Una de las razones por las que se preocupan por los límites inferiores de los consejos, es que está conectado a los límites inferiores del circuito y a la desrandomización en el paradigma de `` dureza versus aleatoriedad ''. Por ejemplo, si el problema canónico que se puede resolver en el tiempo $2^n$ tiene tablas de verdad que requieren consejos $2^{\epsilon n}$ para poder calcularse en el tiempo $2^{\epsilon n}$ , entonces esas tablas de verdad tampoco tienen circuitos de tamaño $2^{\epsilon n}$ , entonces $P = BPP$ por un célebre resultado de Impagliazzo y Wigderson.

Preguntar acerca de $K(HALT_n)$ lugar no tiene tales aplicaciones afaik, pero podría ser más fácil de resolver. También es más fácil de establecer, ya que no depende de un parámetro con límite de tiempo; es un problema bastante natural que ya podría haberse estudiado.

¿Hay mejores límites inferiores o superiores en $K(HALT_n)$ conocidos además del resultado del `` folklore ''? ¿Alguno de los límites inferior o superior es superior?

Nota: Hay otra buena publicación sobre la complejidad del circuito del problema de detención, que puede verse casi máxima por un argumento esbozado por Emil Jerabek aquí: /mathpro/115275/non-uniform-complexity del problema de detención

Básicamente, se utiliza un truco en el que podemos calcular (con acceso aleatorio) del lexicográfico primera tabla de verdad de (grandes) la complejidad del circuito dentro de la clase $E^{NP^{NP}}$ . Y podemos reducir este cálculo a una consulta al problema de detención, y esta reducción tiene baja complejidad de circuito. Entonces, $HALT$ debe tener una gran complejidad de circuito; si no lo tuviera, esta función también tendría baja complejidad.

Aunque parece relacionado, no creo que este argumento dé nada por $K(HALT_n)$ . (Podría ser que la complejidad de Kolmogorov limitada por el tiempo de $HALT$ es grande, como lo implica la complejidad del circuito, pero a medida que la restricción de tiempo se relaja, la complejidad disminuye drásticamente). Creo que el argumento análogo muestra que, si Tuvimos un oráculo al problema de detención, entonces podríamos admitir consultas de acceso aleatorio a la primera cadena incompresible lexicográficamente. Pero, debemos hacer una serie de consultas adaptativas, y esto no se puede reducir directamente a $HALT$por lo que sé. Además, las cadenas de consulta deben ser afaik exponencialmente grandes, por lo que termina mostrando solo que $HALT_{2^n}$ tiene una complejidad de al menos $2^n$ cuestión, y esto no supera el argumento del `` folklore ''.

Mis antecedentes en la complejidad de Kolmogorov son bastante débiles, lamentablemente, ¿ $K(HALT_n)$ ya es conocido por algún otro argumento? ¿Quizás hay un truco usando la simetría de la información?

O, ¿hay un límite superior mejor que me haya perdido?

Una cosa que puede parecer extraña es que, volviendo a la configuración $DTIME$ , solo esperamos obtener un límite inferior cuando reduzcamos el tiempo por debajo del algoritmo ingenuo. Cuando tienes suficiente tiempo para ejecutar el algoritmo ingenuo, entonces obviamente es compresible. En el caso de $K(HALT_n)$, no hay límite de tiempo en absoluto, por lo que quizás tengamos `` la misma '' cantidad de tiempo que el adversario, y no deberíamos esperar que sea máximamente incompresible. Sin embargo, la diagonalización también funciona en la configuración sin restricciones: parece que para cualquier máquina, hay una máquina que hace lo mismo que esa máquina y luego hace algo más, por lo que siempre hay alguien que tiene más tiempo que usted. Entonces, tal vez el adversario siempre tenga más tiempo que nosotros después de todo ...

Hmm, resulta que en realidad hay un límite superior a juego que no es demasiado difícil:

$HALT_n$$n$$2^{n}$$n$

Entonces, supongo que el argumento del folklore es estricto aquí. Tenemos

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

$K(HALT_n)$$O(1)$

$n$$n$