¿Cuál es el nombre de una función tal que ?

Sea un lenguaje y una función en dos parámetros con la propiedad de que para todos e , devuelve un elemento de si y solo si tanto como son elementos de :$L$$f\colon {\Sigma^\star}\times\Sigma^\star\to\Sigma^\star$$x$$y$$f$$L$$x$$y$$L$

Pregunta ¿Estas funciones tienen un nombre en la literatura?

Las siguientes son algunas observaciones divertidas. Estas funciones, que llamaré " reducciones conjuntivas ", pueden construirse para los problemas completos de una variedad de clases de complejidad. Por ejemplo, para , tome la función . Análogamente, podemos considerar " reducciones disyuntivas ", de modo que es una reducción disyuntiva sobre . Estas dos reducciones también funcionan bien sobre las fórmulas booleanas cuantificadas, por lo que también funcionan para todos los niveles de la jerarquía polinómica y para PSPACE.$L=SAT$$f(\psi, \phi)=\psi\wedge\phi$$g(\psi,\phi)=\psi\vee\phi$$SAT$

Es fácil construir reducciones conjuntivas y disyuntivas para los idiomas L y NL-Complete DSTCON y USTCON: dados dos gráficos, y dos pares de vértices, , construye un nuevo grafique tomando la unión disjunta , agregue dos nodos agregue bordes . Una reducción disyuntiva pone estos dos gráficos en paralelo, en lugar de en serie.$G, H$$(u,v), (x,y)$$G\cup H$$s,t$$(s,u),(v,x),(y,t)$

Existe una reducción conjuntiva para el isomorfismo gráfico, pero obviamente no existe una reducción disyuntiva. Por el contrario, existe una reducción disyuntiva para el problema del Automorfismo de gráfico no trivial, pero no pude encontrar una reducción conjuntiva. Esto me sorprendió, porque pensé que estos problemas estaban en algún nivel iguales, ¡y luego aprendí algo nuevo sobre el isomorfismo gráfico!

Como último paso obvio, uno puede considerar " reducciones conjugadas ", funciones tal que . Encontrar tal reducción para el isomorfismo gráfico demostraría que está en coNP. No pude encontrar ni una conjunción, ni una disyuntiva, ni una reducción conjugada para la versión de decisión de Factoring.$f(x)\in L \iff x \not\in L$

Suelen llamarse funciones AND. (No estoy bromeando). De hecho, este concepto se ha considerado antes, y así es como las personas lo llaman. Ver, por ejemplo, el libro de Kobler, Schoning y Toran sobre Graph Iso, donde hablan sobre las funciones AND y OR para GI. Y, por cierto, no es una OR-función para GI (ibid.).

La cuestión de una función AND para el automorfismo gráfico es, creo, todavía abierta :) (como se indica en el libro anterior).

Según su último párrafo, el tipo de reducción del que está hablando también se puede generalizar a lo que se denomina reducciones de "tabla de verdad" o "tt". Estas son reducciones de Turing no adaptativas (las consultas son fijadas por la entrada, pero no pueden depender de la respuesta a consultas anteriores). Por ejemplo, el tipo de reducción de negación en su último párrafo es una reducción de 1 tt (1 = número de consultas).