Dicotomía de los espectros de gráficos dirigidos.

En comparación con los espectros de gráficos no dirigidos, que corresponden a matrices simétricas, los espectros de gráficos dirigidos no son muy conocidos:

Se sabe que un gráfico dirigido $G = (V,E)$ tiene una matriz de adyacencia $A(G)$ cuyos valores propios son binarios $\{0,1\}$ si $G$ es a-cíclico. Esto se sigue por la clasificación de los vértices en componentes fuertemente conectados: Esto fija una enumeración de los vértices $v_1,.., v_n$ tal que el acuerdo Laplaciano permutada a este ordenamiento es triangular superior con $0/1$ entradas.

Pero lo que se sabe si $G$ es el otro extremo, es decir, $G$ es un gráfico fuertemente conectado en $n$ vértices, lo que significa que hay un camino dirigido entre cualquier par de vértices.

Generalmente, uno necesitaría calcular el polinomio característico de $A(G)$ y calcular sus raíces. A pesar de que $A(G)$ es una matriz $\{0,1\}$ , esto parece una tarea desalentadora. En particular, las raíces de este polinomio son en general números complejos.

El teorema de Perron-Frobenius implica que al menos el valor propio superior es real y simple, pero no revela información sobre el resto de los valores propios.

Sin embargo, ¿qué pasa si solo nos interesan los límites muy débiles de la siguiente forma:

$\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}$ : Sea$G$ un gráfico dirigido sobre$n$ vértices. Entonces, o bien todos los valores propios de$A_G$ son reales, o existe al menos un valor propio$\lambda$ tal que$im(\lambda)\geq 1/poly(n)$ .

¿Estos límites siguen trivialmente de los teoremas conocidos? Alternativamente, ¿puede un gráfico dirigido tener un valor propio con un componente imaginario exponencialmente pequeño?

La respuesta a "alternativamente, puede una gráfica dirigida tener un valor propio con un componente imaginario exponencialmente pequeño" es SÍ (aunque no entiendo qué es "alternativa" acerca de esta declaración, ya que de ninguna manera refuta la conjetura).

$f\in\mathbb Z[x]$$G$$O(\deg(f)+\|f\|_1)$$f$ tan fácilmente como esperaba, así que decidí escribirlo como una respuesta adecuada para el registro.

Schönhage [1] enumera varios ejemplos de polinomios con separación de raíces exponencialmente pequeña, en particular la familia de polinomios atribuidos a Mignotte [ 2] (que no puedo verificar ya que no tengo acceso a él en este momento). Ahora, estos polinomios tienen cada uno un par de raíces reales cerca de en una distancia , mientras que necesitamos un par de raíces complejas . Sin embargo, esto se logra fácilmente modificando ligeramente el polinomio: sea Claramente, este polinomio no tiene raíz real positiva (y tampoco tiene raíz real negativa si

$$x^n-2(cx-1)^2\qquad(n\ge3,c\ge2)$$ $1/c$$<2/c^{1+n/2}$ $$f(x)=x^n\mathbin{\color{red}+}(2x-1)^2=x^n+4x^2-4x+1.$$ $n$incluso). Además, es fácil demostrar que todavía tiene un par de raíces (necesariamente no reales) en una distancia exponencialmente pequeña a ; Si no estropeé el cálculo, estas raíces son aproximadamente Ahora, se puede escribir como el determinante de, por ejemplo, la matriz y por lo tanto como el polinomio característico de la matriz de adyacencia del gráfico dirigido ponderado en vértices$1/2$ $$z_\pm=\frac12\pm i2^{-1-\frac n2}+O(n2^{-n}).$$ $f(x)$$n\times n$ $$\begin{pmatrix} x&-1\\ &x&-1\\ &&x&-1\\ &&&\ddots\\ &&&&x&-1\\ 1&-4&4&&&x \end{pmatrix}$$ $G_0$$n$$\{0,\dots,n-1\}$$i\to i+1$$1$$i=0,\dots,n-2$ ; de peso ; de peso ; y de peso . Los valores propios de son, por lo tanto, exactamente las raíces de , incluyendo .$n-1\to0$$-1$$n-1\to1$$4$$n-1\to2$$-4$$G_0$$f$$z_\pm$

Finalmente, los valores propios de se incluyen entre los valores propios del gráfico dirigido no ponderado en vértices con bordes e para ; y para ; , ; y , , , para$G_0$$G_1$$2n+6$

$$0_+,0_-,\dots,(n-2)_+,(n-2)_-,(n-1)_+^0,\dots,(n-1)_+^3,(n-1)_-^0,\dots,(n-1)_-^3$$ $i_+\to(i+1)_+$$i_-\to(i+1)_-$$i=0,\dots,n-3$$(n-2)_+\to(n-1)_+^j$$(n-2)_-\to(n-1)_-^j$$j=0,\dots,3$$(n-1)_+^0\to0_-$$(n-1)_-^0\to0_+$$(n-1)_+^j\to1_+$$(n-1)_+^j\to2_-$$(n-1)_-^j\to1_-$j=0,...,$(n-1)_-^j\to2_+$$j=0,\dots,3$ .

Referencias

[1] A. Schönhage, Ejemplos de separación de raíces polinomiales , Journal of Symbolic Computation 41 (2006), no. 10, págs. 1080-1090, doi: 10.1016 / j.jsc.2006.06.003 .

[2] M. Mignotte, Algunos límites útiles , en: Buchberger, Collins, Loos (eds.), Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation, 2nd ed., Springer-Verlag, 1983, pp. 259–263, doi: 10.1007 / 978-3-7091-7551-4_16 .

Siento que los límites dependerán en gran medida de la estructura de conectividad particular del gráfico.

Un ejemplo sería un ciclo de una sola vía de longitud . Con el orden correcto, no es difícil ver que , por lo que los valores propios son todos los raíces-ésima de la unidad, es decir, con yendo de a .A ( G ) N - I = 0 N e 2 π i n / N n 0 N - $N$$A(G)^N - I = 0$$N$$e^{2\pi i n/N}$$n$$0$$N-1$

Incluso para , tiene garantizados algunos valores propios puramente imaginarios y .i - $N$$i$$-i$

Ahora, por otro lado, fui a Wolframalpha y conecté el gráfico completo de tamaño 4, luego eliminé un solo borde. El gráfico resultante tiene valores propios puramente reales (a pesar de no tener una matriz de adyacencia simétrica; sí, eso puede suceder). Lo que me dice que no hay una declaración general.