¿Cuándo BPP con una moneda sesgada es igual a BPP estándar?

Deje que una máquina de Turing probabilística tenga acceso a una moneda injusta que sale cara con probabilidad (los lanzamientos son independientes). Defina como la clase de lenguajes reconocibles por dicha máquina en tiempo polinomial. Es un ejercicio estándar demostrar que: $p$ $BPP_p$

A) Si es racional o incluso -computable entonces . (Por computable quiero decir: hay un algoritmo polinomial aleatorio que se alimenta en retornos unarios whp el binario racional con denominador que se encuentra dentro de de .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) Para algunos incomputable la clase contiene un lenguaje indecidible y por lo tanto es mayor que . Tales valores de forman un conjunto denso en . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Mi pregunta es la siguiente: ¿qué sucede en el medio? ¿Hay algún criterio para ? En particular: $BPP_p=BPP$

1) hacer incomputable en probabilidades existen tales que ? (Pueden ser computables en algunas clases superiores). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) ¿ más ancho que para todos los computables ? (Los parámetros en cuestión son aquellos cuya expansión binaria contiene secuencias muy largas de ceros y / o unos. En este caso, calcular los bits mediante muestreo aleatorio puede llevar mucho tiempo, incluso un tiempo incuestionable, y el problema no puede reescalarse al tiempo polinómico. A veces, el la dificultad puede ser superada por otra base de expansión, pero cierto puede engañar a todas las bases). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Daniil Musatov
fuente

¿Qué quiere decir exactamente con p siendo (no) computable?

— daniello

Agregué la definición de

-computable. Para computable en general, uno puede soltar las palabras "polinomio aleatorio" o simplemente decir que la expansión binaria es computable. (Con recursos limitados esto no es lo mismo.)

B P P

$BPP$

— Daniil Musatov

Creo

para cada incomputable

porque dado un

uno -biased moneda puede calcular el

-ésimo bit de

por muestreo. Supongamos que podemos calcular el

'th bit en el tiempo

, luego el lenguaje que contiene

para todo

tal manera que el

' th bit de

está en

B P P_{p} \neq B P P

$BPP_p \neq BPP$

p

$p$

p

$p$

n

$n$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

1^{x}

$1^x$

x

$x$

f^{- 1} (x)

$f^{-1}(x)$

p

$p$

1

$1$

B P P_{p}

$BPP_p$ , pero claramente es indiscutible.

— daniello

Esto es definitivamente cierto para la gran mayoría de los

. Pero hay una advertencia: si

contiene secuencias muy largas de ceros y unos, entonces puede necesitar un muestreo muy largo para determinar el bit

. Este muestreo puede ser tan largo que

no sea computable (como la función Busy Beavers). También dudo que pueda calcularse con precisión a partir del muestreo en sí. Y parece que sin computar

no se puede reconocer el lenguaje mencionado.

p

$p$

p

$p$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— Daniil Musatov

$L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

$BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

$2^{-n}$ $2^{-n-1}$

$2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— domotorp
fuente

2^{2 n}

$2^{2n}$

2^{n}

$2^n$

2^{- n}

$2^{-n}$

| p - \frac{1}{2} | < ϵ

$|p-\frac12|<\epsilon$

\frac{1}{ϵ^{2}}

$\frac1{\epsilon^2}$

B P P

$BPP$

p

$p$

0.01111111111

$0.01111111111$

1

$1$

p

$p$

p

$p$

i

$i$

2^{- i - 1}

$2^{-i-1}$

p

$p$

2^{- n}

$2^{-n}$

p

$p$