Lenguas irreducibles

Esta no es necesariamente una pregunta de investigación. Solo una pregunta por curiosidad:

Estoy tratando de entender si uno puede definir lenguajes "irreductibles". Como primera suposición, llamo a un idioma L "reducible" si se puede escribir como con y , de lo contrario, llame al idioma "irreducible" . Es verdad:$L = A \cdot B$$A \cap B = \emptyset$$|A|,|B|>1$

1) Si P es irreducible, A, B, C son idiomas tales como , y , entonces existe un idioma tal que ? Esto correspondería en números enteros al lema de Euklid y sería útil para demostrar la unicidad de la "factorización".$A\cap B = \emptyset$$P \cap C = \emptyset$$A\cdot B = C\cdot P$$B' \cap P = \emptyset$$B = B'\cdot P$

2) ¿Es cierto que cada idioma puede factorizarse en un número finito de idiomas irreducibles?

Si alguien tiene una mejor idea sobre cómo definir un lenguaje "irreducible", me gustaría escucharlo. (¿O tal vez ya hay una definición de esto, que desconozco?)

Aquí hay un contraejemplo para esto:

llame a un lenguaje L "reducible" si se puede escribir como $L = A \cdot B$ con $A \cap B = \emptyset$ y $|A|,|B|>1$ , de lo contrario llame al lenguaje "irreducible". Es verdad:

1) Si P es irreducible, A, B, C son lenguajes tales que $A\cap B = \emptyset$ , $P \cap C = \emptyset$ y $A\cdot B = C\cdot P$ , entonces existe un lenguaje $B' \cap P = \emptyset$ tal que $B = B'\cdot P$ ?

En el alfabeto unario $\{0\}$ , defina las siguientes palabras

$$a=0^4,\quad b=0,\qquad c=0^3,\quad p=0^2.$$ Entonces$ab=cp$ y no es el caso que$b=b'p$ para cualquier$b'$ .

Entonces obtenemos un contraejemplo con los idiomas singleton

$$P=\{p\},\quad A=\{a\},\quad B=\{b\},\quad C=\{c\}.$$

Existe la noción de primalidad de un lenguaje. Pregunta si L puede escribirse como donde ninguno de los factores contiene la palabra vacía. Un idioma es primo si no se puede escribir de esta forma.$L_1 \cdot L_2$

Para un lenguaje regular dado, representado por un DFA, se muestra en [MNS] que es PSPACE-complete para decidir la originalidad.

[MNS] Wim Martens, Matthias Niewerth y Thomas Schwentick, " Diseño de esquema para repositorios XML: complejidad y capacidad de rastreo ", 2010. doi: 10.1145 / 1807085.1807117

Otro papel para mirar:

• Kai Salomaa, " Descomposición del lenguaje, primalidad y operaciones basadas en la trayectoria ", 2008.