Máxima coincidencia de peso y funciones submodulares.


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Dado un gráfico bipartito con pesos positivos, deje con igual a la coincidencia de peso máximo en el gráfico .G=(UV,E)f:2URf(S)G[SV]

¿Es cierto que es una función submodular?F


3
¿Qué piensas? ¿Has intentado probarlo / refutarlo?
Yuval Filmus

Intuitivamente parece que debería ser cierto, pero no pude probarlo. También creo que si es cierto, debería ser un resultado bien conocido, pero no pude encontrar una referencia.
George Octavian Rabanca

2
Esto es cierto para el caso no ponderado, ya que se puede reducir a cortes mínimos. No es obvio cómo probar la versión ponderada ...
Chao Xu

Considere con pesos de borde 1,1,1,2. K2,2
András Salamon

1
@ AndrásSalamon Parece que en el último paso asumes que es aditivo, lo cual no es cierto. El juego máximo de S T podría usar vértices que ya han sido utilizados tanto por coincidencia de S T y T S . Tengo una prueba de esto ahora, pero definitivamente estoy más involucrado que esto. FSTSTTS
George Octavian Rabanca

Respuestas:


1

Definición . Para un conjunto finito dado , una función de conjunto f : 2 AR es submodular si para cualquier X , Y A sostiene que: f ( X ) + f ( Y ) f ( X Y ) + f ( X Y ) .Af:2ARX,YA

f(X)+f(Y)f(XY)+f(XY).

Lema Dado un gráfico bipartito con pesos de borde positivos, sea f : 2 AR + la función que asigna S A al valor de la coincidencia de peso máximo en G [ S B ] . Entonces f es submodular.G=(AB,E)f:2AR+SAG[SB]f

Prueba. Arregle dos conjuntos y deje que M y M sean dos coincidencias para los gráficos G [ ( X Y ) B ] y G [ ( X Y ) B ] respectivamente. Para demostrar que el lema es suficiente para demostrar que es posible dividir los bordes en M y M en dos combinaciones disjuntas M X y M YX,YUNAMMG[(XY)B]G[(XY)B]MMMXMYpara los gráficos y G [ Y B ] respectivamente.G[XB]G[YB]

Los bordes de y M forman una colección de caminos y ciclos alternos. Deje C denotar esta colección y observe que ningún ciclo de C contiene vértices de X Y o Y X . Esto se cumple porque M no coincide con esos vértices.MMCCXYYXM

Deje el conjunto de caminos en C con al menos un vértice en X Y y dejar que P Y el conjunto de caminos en C con al menos un vértice en Y X . Dos de estos caminos se representan en la figura a continuación.PXCXYPYCYX

ingrese la descripción de la imagen aquí

Reclamación 1. . PXPY=

Supongamos por contradicción que existe un camino . Deje x ser un vértice en X Y en la trayectoria P y de manera similar permiten y ser un vértice en Y X en la trayectoria P . Observe que, dado que ni x ni y pertenecen a X Y que no pertenecen a la correspondencia M por definición, y por lo tanto son los puntos finales de la trayectoria P . Además, ya que tanto x comoPPXPYxXYPyYXPxyXYMPx están en A , la ruta P tiene una longitud uniforme y, dado que es una ruta alterna, el primer o el último borde pertenece a M . Por lo tanto, M coincide con x o y , lo que contradice la definición y prueba la afirmación.yAPMMxy

Sea y M Y = ( P XM ) ( ( CP X ) M ) . Está claro que M XM Y = M M

MX=(PXM)((CPX)M)
MY=(PXM)((CPX)M).
MXMY=MM y . Para probar el teorema, queda por demostrar que M X y M Y son coincidencias válidas para G [ X B ] y G [ Y B ] respectivamente. Para ver que M X es una coincidencia válida para G [ X B ], observe primero que M no coincide con ningún vértice de Y XMXMY=MMMXMYG[XB]G[YB]MXG[XB]YX ya que P X no se cruza con Y X por la reivindicación 1, y M no se cruza con Y X por definición. Por lo tanto, M X sólo utiliza vértices de X B . En segundo lugar, observe que cada vértice x X coincide como máximo con un borde de M X ya que de lo contrario x pertenece a dos bordes de M o dos bordes de M , lo que contradice la definición. Esto prueba que M XMXPXYXMYXMXXBxXMXxMMMXes una coincidencia válida para ; mostrar que M Y es una coincidencia válida para G [ Y B ] es similar.G[XB]MYG[YB]

¡Esto se ve genial! Como sugerencia menor: las definiciones de y M Y no son simétricas, por lo que su afirmación final de que " M Y ... es similar" no es inmediata. Está más claro (creo) si deja que C CP XP Y denote los componentes conectados que no tocan ningún vértice en X Δ Y , y luego establece M X = ( P XM ) ( P YM )MXMYMYCCPXPYXΔY y M Y son lo mismo con X e Y intercambiados y luego la última M cambia a M . MX=(PXM)(PYM)(CM)MYXYMM
Andrew Morgan
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