Dado un gráfico bipartito con pesos positivos, deje con igual a la coincidencia de peso máximo en el gráfico .
¿Es cierto que es una función submodular?
Dado un gráfico bipartito con pesos positivos, deje con igual a la coincidencia de peso máximo en el gráfico .
¿Es cierto que es una función submodular?
Respuestas:
Definición . Para un conjunto finito dado , una función de conjunto f : 2 A → R es submodular si para cualquier X , Y ⊆ A sostiene que: f ( X ) + f ( Y ) ≥ f ( X ∪ Y ) + f ( X ∩ Y ) .
Lema Dado un gráfico bipartito con pesos de borde positivos, sea f : 2 A → R + la función que asigna S ⊆ A al valor de la coincidencia de peso máximo en G [ S ∪ B ] . Entonces f es submodular.
Prueba. Arregle dos conjuntos y deje que M ∩ y M ∪ sean dos coincidencias para los gráficos G [ ( X ∩ Y ) ∪ B ] y G [ ( X ∪ Y ) ∪ B ] respectivamente. Para demostrar que el lema es suficiente para demostrar que es posible dividir los bordes en M ∩ y M ∪ en dos combinaciones disjuntas M X y M Ypara los gráficos y G [ Y ∪ B ] respectivamente.
Los bordes de y M ∪ forman una colección de caminos y ciclos alternos. Deje C denotar esta colección y observe que ningún ciclo de C contiene vértices de X ∖ Y o Y ∖ X . Esto se cumple porque M ∩ no coincide con esos vértices.
Deje el conjunto de caminos en C con al menos un vértice en X ∖ Y y dejar que P Y el conjunto de caminos en C con al menos un vértice en Y ∖ X . Dos de estos caminos se representan en la figura a continuación.
Reclamación 1. .
Supongamos por contradicción que existe un camino . Deje x ser un vértice en X ∖ Y en la trayectoria P y de manera similar permiten y ser un vértice en Y ∖ X en la trayectoria P . Observe que, dado que ni x ni y pertenecen a X ∩ Y que no pertenecen a la correspondencia M ∩ por definición, y por lo tanto son los puntos finales de la trayectoria P . Además, ya que tanto x como están en A , la ruta P tiene una longitud uniforme y, dado que es una ruta alterna, el primer o el último borde pertenece a M ∩ . Por lo tanto, M ∩ coincide con x o y , lo que contradice la definición y prueba la afirmación.
Sea y M Y = ( P X ∩ M ∩ ) ∪ ( ( C ∖ P X ) ∩ M ∪ ) . Está claro que M X ∪ M Y = M ∩ ∪ M ∪