Máxima coincidencia de peso y funciones submodulares.

Dado un gráfico bipartito con pesos positivos, deje con igual a la coincidencia de peso máximo en el gráfico . $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

¿Es cierto que es una función submodular? $f$

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
fuente

¿Qué piensas? ¿Has intentado probarlo / refutarlo?

— Yuval Filmus

Intuitivamente parece que debería ser cierto, pero no pude probarlo. También creo que si es cierto, debería ser un resultado bien conocido, pero no pude encontrar una referencia.

— George Octavian Rabanca

Esto es cierto para el caso no ponderado, ya que se puede reducir a cortes mínimos. No es obvio cómo probar la versión ponderada ...

— Chao Xu

Considere

con pesos de borde 1,1,1,2.

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— András Salamon

@ AndrásSalamon Parece que en el último paso asumes que

es aditivo, lo cual no es cierto. El juego máximo de

podría usar vértices que ya han sido utilizados tanto por coincidencia de

. Tengo una prueba de esto ahora, pero definitivamente estoy más involucrado que esto.

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— George Octavian Rabanca

Definición . Para un conjunto finito dado , una función de conjunto es submodular si para cualquier sostiene que: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lema Dado un gráfico bipartito con pesos de borde positivos, sea la función que asigna al valor de la coincidencia de peso máximo en . Entonces es submodular. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Prueba. Arregle dos conjuntos y deje que y sean dos coincidencias para los gráficos y respectivamente. Para demostrar que el lema es suficiente para demostrar que es posible dividir los bordes en y en dos combinaciones disjuntas y $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ para los gráficos y respectivamente. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Los bordes de y forman una colección de caminos y ciclos alternos. Deje denotar esta colección y observe que ningún ciclo de contiene vértices de o . Esto se cumple porque no coincide con esos vértices. $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

Deje el conjunto de caminos en con al menos un vértice en y dejar que el conjunto de caminos en con al menos un vértice en . Dos de estos caminos se representan en la figura a continuación. $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Reclamación 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Supongamos por contradicción que existe un camino . Deje ser un vértice en en la trayectoria y de manera similar permiten ser un vértice en en la trayectoria . Observe que, dado que ni ni pertenecen a que no pertenecen a la correspondencia por definición, y por lo tanto son los puntos finales de la trayectoria . Además, ya que tanto como $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ están en , la ruta tiene una longitud uniforme y, dado que es una ruta alterna, el primer o el último borde pertenece a . Por lo tanto, coincide con o , lo que contradice la definición y prueba la afirmación. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Sea y Está claro que

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ y

. Para probar el teorema, queda por demostrar que

son coincidencias válidas para

respectivamente. Para ver que

es una coincidencia válida para

observe primero que

coincide con ningún vértice de

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

ya que

no se cruza con

por la reivindicación 1, y

no se cruza con

por definición. Por lo tanto,

sólo utiliza vértices de

. En segundo lugar, observe que cada vértice

coincide como máximo con un borde de

ya que de lo contrario

pertenece a dos bordes de

o dos bordes de

, lo que contradice la definición. Esto prueba que

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ es una coincidencia válida para

; mostrar que

es una coincidencia válida para

es similar.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
fuente

¡Esto se ve genial! Como sugerencia menor: las definiciones de

no son simétricas, por lo que su afirmación final de que "

... es similar" no es inmediata. Está más claro (creo) si deja que

denote los componentes conectados que no tocan ningún vértice en

, y luego establece

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

son lo mismo con

intercambiados y luego la última

cambia a

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— Andrew Morgan