Implementación de idiomas "internos"

Una de las consecuencias más prácticas de la correspondencia "Curry-Howard-Lambek" es que la sintaxis de muchas lambda-calucli / lógicas puede usarse para realizar construcciones en una categoría suficientemente estructurada.

Por ejemplo, la Geometría diferencial sintética tiene modelos en topoi que contienen e incrustan la categoría de múltiples suaves, por lo que puede usar lógica de orden superior para construir funciones suaves y resolver ecuaciones diferenciales.

Como otro ejemplo, en este documento , se dan cuenta de que la "indexación por pasos" en realidad solo funciona con preajustes sobre los naturales (otro topos), por lo que puede usar la sintaxis de la lógica de orden superior para definir relaciones lógicas indexadas por pasos sin el tedioso manipulación de pasos.

Finalmente, Andrej Bauer muestra en esta pregunta de MO que puedes hacer mucho con el "lenguaje interno" de los topos de los gráficos.

Mi pregunta es, ¿ alguien se ha dado cuenta de esta visión literalmente en un probador de teoremas ? Por ejemplo, si demuestro que una categoría que me importa es Cerrada cartesiana, podría pasar al "modo interno" donde escribo la sintaxis de cálculo lambda (con algunos axiomas específicos del modelo) y luego puedo volver al "modo externo" y manipularlos como objetos en mi modelo?

En el extremo, incluso me gustaría contar con teoría y lógica de orden superior, para poder escribir mis relaciones lógicas indexadas por pasos sin pasos, o enseñar mecánica clásica con un probador de teoremas usando SDG. Esto me parece una idea muy poderosa, ya que alguien podría implementar la teoría del tipo dependiente extensional una vez y proporcionar herramientas agradables y luego usarla con aplicaciones muy diferentes como se describió anteriormente.

En Extending Type Theory with Forcing, de Guilhem Jaber, Nicolas Tabareau y Matthieu Sozeau, 2012, el forzamiento intuicionista se presenta como una internalización de la construcción previa a la intemperie, implementada como una traducción de preservación de tipo al estilo de la traducción de parametricidad de Bernardy y Lasson .

Esto significa que puede definir términos en su teoría de tipos habitual y luego "traducirlos" en una "capa forzada" donde se interpretan como traducciones en un tipo de traducción diferente. Por ejemplo, la traducción inducida por la indexación sobre números naturales decrecientes le permite usar sus términos habituales en una teoría posterior a la traducción donde una latermodalidad es definible. Esto suena bastante cercano a su idea de trabajar internamente en los topos de los árboles.

Parece que tienen un plugin Coq nuevo y más simple que implementa estas ideas en CoqHott / coq-forcing , y en particular SI.v construye esta traducción forzada para la indexación por pasos. Desafortunadamente, si bien hace el trabajo de construir el modelo, no hay ningún ejemplo de usarlo para definiciones indexadas por pasos en la práctica (lo único traducido en lugar de definido en la capa forzada es Forcing Translate eq, lo que no es terriblemente informativo). Podría intentar experimentar para ver qué tan conveniente es usarlo.

Si va a trabajar solo en el idioma interno, puede usar un asistente de prueba. Hay un tecnicismo menor de tener o no tener conjuntos de poder, ya que los asistentes de prueba son típicamente teorías de tipo, pero Coq Propes consistente con una interpretación de Coq en un topos.

Sin embargo, sugiere utilizar la máquina como una especie de herramienta de traducción que lo llevaría del lenguaje interno a la interpretación en un modelo. Esta es una buena idea, excepto que creo que no sería tan útil como cabría esperar. Es cierto que la traducción del lenguaje interno al modelo es mecánica, pero desafortunadamente produce traducciones complicadas que necesitan mucho masaje antes de que sean útiles. (Si alguna vez trató de usar la interpretación de Lawvere-Tierney de la lógica de topos en un topos de gavilla, lo sabrá).

Hay un problema más, a saber, la traducción inversa . A menudo comenzamos con un concepto u objeto conocido en el modelo, y nos gustaría una buena descripción o axomatización del mismo en el lenguaje interno. Esto es típicamente trabajo duro y matemática real. No veo cómo los asistentes de prueba actuales podrían ayudar.

En el aspecto técnico de las cosas, uno debería preocuparse por formalizar:

• la sintaxis y las reglas del lenguaje interno
• el modelo
• la interpretación

$\lambda$

En resumen, usar un asistente de prueba para ayudar a verificar que no estás haciendo nada malo en el lenguaje interno es una buena idea (de hecho, es una muy buena idea, como lo atestigua la teoría del tipo de homotopía, donde utilizamos Coq y Agda desarrollar nuevos teoremas que luego no fueron formateados en inglés), pero es poco probable que usarlo para obtener declaraciones sobre modelos funcione sin mucho trabajo adicional. ¡Lo que no quiere decir que no deberías intentarlo!