¿Son los circuitos aritméticos más débiles que los booleanos?

Sea el tamaño mínimo de un circuito aritmético (no monótono) ( + , × , - ) que calcula un polinomio multilineal dado f ( x 1 , … , x n ) = ∑ e ∈ E c e n ∏ i = 1 x e i$A(f)$$(+,\times,-)$ y B ( f ) denota el tamaño mínimo de uncircuitobooleano(no monótono) ( ∨ , ∧ , ¬ ) que calcula laversión booleana f b de f definida por: f b ( x 1 , … , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

¿Se conocen los polinomios para los cuales B ( f ) es más pequeño que A ( f ) ? $f$$B(f)$$A(f)$

Si consideramos versiones monótonas de circuitos, sin puertas Minus y sin Not ( ¬ ) , entonces B ( f ) puede ser incluso exponencialmente más pequeño que A ( f ) : tome, por ejemplo, el polinomio de ruta st más corto f en K n ; entonces B ( f ) = O ( n 3 ) y A ( f ) = 2 Ω ( $(-)$$(\neg)$$B(f)$$A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$ . Pero, ¿qué sucede en el "mundo no monótono"? Por supuesto,no se pueden conocergrandesbrechas solo porque no tenemos grandes límites inferiores enA(f). ¿Pero quizás hay al menos algunas brechas pequeñas conocidas? $A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

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NOTA (15.03.2016) En mi pregunta, no especifiqué cuán grandes coeficientes están permitidos. Igor Sergeev me recordarse que, por ejemplo, los siguientes (univariado) polinomio f ( z ) = Σ m j = 1 2 2 j m z j tiene A ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) (Strassen y la gente de su grupo). Pero B ( f ) = 0 para este polinomio, ya que f b$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$ . Podemos obtener desde f unpolinomiomultivariado f ' ( x 1 , ... , x n ) de n = log m variables usando la sustitución de Kronecker. Asociar con cada exponente j un monomio X j = ∏ i : a i = 1 x i , donde ( a 1 , … , a n$f_b(z)=z$$f$$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$son los coeficientes 0-1 de la representación binaria de . A continuación, el polinomio se desea f ' = Σ m j = 1 c j X j , y tenemos que A ( f ' ) + n ≥ A ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) = 2 Ω ( n ) . Pero la versión booleana de f ' es solo un OR de variables, entonces B $j$$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ $f'$ , y tenemos una brecha exponencial par. Por lo tanto, si la magnitud de los coeficientes puede ser triple exponencial en el número n de variables, entoncessepuede demostrar quela brecha A ( f ) / B ( f ) es incluso exponencial. (En realidad, no la magnitud en sí, más la dependencia algebraica de los coeficientes). Es por eso que el verdadero problema con A ( f ) es el caso deloscoeficientespequeños(idealmente, solo 0-1). Pero en este caso, como recordó Joshua, el límite inferior A ( f $B(f')\leq n-1$$n$$A(f)/B(f)$ $A(f)$ de Strassen y Baur (con coeficientes 0-1) sigue siendo lo mejor que tenemos hoy.$A(f)=\Omega(n\log n)$

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$