Propiedades cerradas menores que son explícitamente expresables por MSO

A continuación, MSO denota la lógica monádica de segundo orden de los gráficos con cuantificaciones de conjuntos de vértices y conjuntos de bordes.

Sea una familia cerrada menor de gráficos. Se deduce de Robertson y de Seymour gráfico teoría menor que se caracteriza por una lista finita de menores prohibidos. En otras palabras, para cada gráfico , tenemos que pertenece a si y solo si excluye todos los gráficos como menores. $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}$ $H_1,H_2,...,H_k$ $G$ $G$ $\mathcal{F}$ $G$ $H_i$

Como consecuencia de este hecho, tenemos una fórmula MSO lo cual es cierto en un gráfico si y sólo si . Por ejemplo, los gráficos planos se caracterizan por la ausencia de los gráficos y como menores, y por lo tanto, es fácil escribir explícitamente una fórmula MSO que caracterice los gráficos planos. $\varphi_{\mathcal{F}}$ $G$ $G\in \mathcal{F}$ $K_{3,3}$ $K_5$

El problema es que para muchas propiedades agradables de gráficos cerrados menores, se desconoce la lista de menores prohibidos. Entonces, si bien sabemos que existe una fórmula MSO que caracteriza a esa familia de gráficos, es posible que no sepamos qué es esta fórmula.

Por otro lado, puede darse el caso de que uno pueda llegar a una fórmula explícita para una propiedad dada sin usar el teorema menor del gráfico. Mi pregunta está relacionada con esta posibilidad.

Pregunta 1: ¿Existe una familia cerrada menor de gráficos , de modo que no se conoce el conjunto de menores prohibidos, pero se conoce alguna fórmula MSO que caracteriza ese conjunto de gráficos? $\mathcal{F}$ $\varphi$

Pregunta 2: ¿Está algunas explícitas MSO fórmula conocido para caracterizar algunas de las siguientes propiedades? $\varphi$

Género 1 (el gráfico se puede insertar en un toro) (ver EDITAR a continuación)
Género k para algunos fijos (ver EDITAR a continuación) $k>1$
k-externalplanarity para algunos fijo $k> 1$

Agradecería cualquier referencia o pensamiento sobre este asunto. Por favor, siéntase libre de considerar otras propiedades cerradas menores, la lista anterior es solo ilustrativa.

Obs: Por explícito no quiero decir necesariamente pequeño. Es suficiente dar un argumento o algoritmo explícito que muestre cómo construir la fórmula que caracteriza la propiedad dada. Del mismo modo, en el contexto de esta pregunta, considero que se conoce a una familia de menores prohibidos si se ha dado un algoritmo explícito para construir esa familia.

EDITAR: Encontré un artículo de Adler, Kreutzer, Grohe que construye una fórmula que caracteriza los gráficos del género con base en los gráficos que caracterizan la fórmula del género k-1. Por lo tanto, este documento responde a los dos primeros elementos de la pregunta 2. Por otro lado, esto no responde a la pregunta 1 porque de hecho existe un algoritmo que construye para cada k, la familia de menores prohibidos que caracterizan gráficos del género k (ver sección 4.2). Por lo tanto, esta familia es "conocida" en el sentido de la pregunta. $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
fuente

Cualquier clase de menores prohibidos puede expresarse prohibiendo un número infinito de subgrafos para cada uno de los menores prohibidos. Por lo tanto, se está preguntando: ¿hay una clase de gráfico cerrado menor tal que la definición MSO infinita (implícitamente existente) de que uno por uno prohíba que cada uno de estos infinitos subgrafos pueda ser reemplazado por una fórmula MSO finita (que sabemos explícitamente)? La Conjetura de Hadwiger tiene esta forma, para cada

, ya que la coloración

se puede expresar mediante una fórmula MSO finita. Si la conjetura es cierta, estas son las gráficas libres de

, pero están abiertas.

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

K_{k}

$K_k$

— András Salamon

Creo que la capacidad de inserción en el toro se puede expresar explícitamente como "el gráfico se puede dividir en dos partes planas" o algo por el estilo, y de manera similar para los géneros superiores.

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

Gracias por la sugerencia Emil. Encontré un artículo que construye los gráficos de caracterización de fórmulas del género k con base en los gráficos de caracterización de fórmulas del género k-1. Esto no responde a mi pregunta por otro lado. Ver la edición.

— Mateus de Oliveira Oliveira

@ AndrásSalamon: es fácil expresar un menor prohibido en una expresión MSO explícita y finita. El problema es que no necesariamente sabemos qué menores prohibir.

— David Eppstein el

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

ϕ_{k} =

$\phi_k =$

(k - 1)

$(k-1)$

Tenía una respuesta aquí que involucra gráficos de ápice, pero falla la definición de no tener un conjunto de obstrucción explícito dado en esta pregunta: hay un algoritmo publicado para encontrar el conjunto de obstrucción, aunque es demasiado lento para ejecutarse, por lo que no sabemos realmente cuál es el conjunto de obstrucción.

$F$ $k\ge 1$ $G$ $k$ $F$ $G$

$k$ $G$ $F$ $_2$

$G$
$(i,j)$ $0\le i,j<k$ $G$ $i$ $j$
$G$
$F$

— David Eppstein
fuente

David, si no me falta algo, Adler-Kreutzer-Grohe-2008 proporcionó un algoritmo que computa una caracterización menor excluida para appex-C, siempre que proporciones la caracterización menor para la clase C. Pero este algoritmo puede ser demasiado ineficiente . Creo que Addler espera que la lista de menores excluidos para appex-PLANAR sea pequeña y, por lo tanto, está pidiendo una lista explícita, porque sería demasiado complicado construirla utilizando su algoritmo. Estoy interesado en una propiedad para la que se conoce la fórmula MSO, pero no se conoce ningún algoritmo para construir a los menores.

— Mateus de Oliveira Oliveira

¿Es cierto para cualquier clase C cerrada menor que la clase de gráficos que tienen una cubierta en C es cerrada menor?

— Denis

Si. Vea la oración que ya está en mi respuesta sobre "Y está cerrada menormente porque ...".

— David Eppstein

Gracias por la nueva respuesta. No vi que la respuesta había sido editada hasta ahora.

— Mateus de Oliveira Oliveira