Regular versus TC0

$\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{Reg}$ $\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{Reg}$ $\mathsf{Reg} \subseteq \mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}\not\subseteq\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$

¿Hay un candidato para un problema en que no está en ? $\mathsf{Reg}$ $\mathsf{TC^0}$

¿Hay un resultado condicional que implique que , por ejemplo, si entonces ? $\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$ $\mathsf{Reg} \not\subseteq \mathsf{TC^0}$

— Kaveh
fuente

Respuestas:

Tome como alfabeto y Barrington demostró en [2] que es -completo para la reducción de (e incluso con una reducción más restrictiva en realidad). $S_5$

L = {σ_{1} \dots σ_{n} \in S_{5}^{*} ∣ σ_{1} \circ \dots \circ σ_{n} = Id}

$L= \{ \sigma_1\cdots \sigma_n \in S_5^*\mid \sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_n = \text{Id}\}$

L

$L$

{NC}^{1}

$\textrm{NC}^1$

{AC}^{0}

$\textrm{AC}^0$

En particular, esto muestra que los idiomas normales no están en si . Al usar la teoría de los semigrupos (consulte el libro de Straubing [1] para obtener más detalles), obtenemos que si está estrictamente en , todos los idiomas regulares son -completo o . $\textrm{TC}^0$ $\textrm{TC}^0 \subsetneq \textrm{NC}^1$ $\textrm{ACC}^0$ $\textrm{NC}^1$ $\textrm{NC}^1$ $\textrm{ACC}^0$

[1] Straubing, Howard (1994). "Autómatas finitos, lógica formal y complejidad del circuito". Progreso en informática teórica. Basilea: Birkhäuser. pag. 8. ISBN 3-7643-3719-2.

[2] Barrington, David A. Mix (1989). "Los programas de ramificación de tamaño polinómico de ancho limitado reconocen exactamente esos idiomas en NC1"

— CP
fuente

Además, si ACC

no está "estrictamente en NC

entonces todos los idiomas normales están" en ACC

todos modos.

^{0}

$^0$

^{1}

$^1$

^{0}

$^0$

$\;\;\;\;$

Los lenguajes regulares con monoides sintácticos insolubles son -completo (debido a Barrington; esta es la razón subyacente detrás del resultado más comúnmente citado de que es igual a los programas de ramificación uniforme de ancho-5). Por lo tanto, dicho lenguaje no está en menos que . $\mathrm{NC}^1$ $\mathrm{NC}^1$ $\mathrm{TC}^0$ $\mathrm{TC}^0=\mathrm{NC}^1$

Mi expresión regular completa favorita de es (esto es en realidad una codificación de , como en la respuesta de CP). $\mathrm{NC}^1$ $((a|b)^3(ab^∗a|b))^∗$ $S_5$

— Emil Jeřábek apoya a Monica
fuente

¿Qué es un monoide sintáctico?

— T ....

Advertencia de terminología confusa: en este contexto, se dice que un monoide es insoluble si contiene un grupo insoluble como un subsemigrupo , no necesariamente como un submonoide.

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

Mi expresión regular NC ^ 1 completa completa favorita es

(esto es en realidad una codificación de S_5, como en la respuesta de CP).

((a | b)^{3} (a b^{*} a | b))^{*}

$((a|b)^3(ab^*a|b))^*$

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

Otro ejemplo, menos conciso pero más fácil de entender:

la 'a' actúa como el ciclo (1 2 3 4 5), el " b "actúa como la permutación (1 2), y se sabe que esos dos elementos del grupo generan

((a + b) (a b^{*} a b^{*} a b^{*} a + b))^{*}

$((a+b)(ab^*ab^*ab^*a+b))^*$

S - 5

$S-5$

— CP

@MichaelCadilhac:

actúa como

, y

como

. Estos generan

como

es una transposición.

a

$a$

(1, 2, 3, 4, 5)

$(1,2,3,4,5)$

b

$b$

(1, 2, 3, 4)

$(1,2,3,4)$

S_{5}

$S_5$

b a^{- 1}

$ba^{-1}$

— Emil Jeřábek apoya a Monica el