¿Contradicción entre el segundo teorema de incompletitud de Gödel y la propiedad de Church-Rosser de CIC?

Por un lado, el segundo teorema de incompletitud de Gödel establece que cualquier teoría formal consistente que sea lo suficientemente fuerte como para expresar cualquier declaración aritmética básica no puede probar su propia consistencia. Por otro lado, la propiedad de Church-Rosser de un sistema formal (reescritura) nos dice que es consistente, en el sentido de que no todas las ecuaciones son derivables, por ejemplo, K I , ya que no tienen la misma normalidad. formar.$\neq$

Entonces el cálculo de construcciones inductivas (CIC) claramente establece ambas condiciones. Es lo suficientemente fuerte como para representar proposiciones aritméticas (de hecho, el cálculo solo ya puede codificar los números de la Iglesia y representar todas las funciones recursivas primitivas). Además, CIC también tiene la confluencia o propiedad de Church-Rosser. Pero:$\lambda\beta\eta$

¿No debería el CIC ser incapaz de demostrar su propia consistencia mediante el teorema de la segunda incompletitud?

¿O simplemente afirma que el CIC no puede probar su propia consistencia dentro del sistema, y ​​de alguna manera la propiedad de confluencia es un meta-teorema? ¿O tal vez la propiedad de confluencia de CIC no garantiza su consistencia?

¡Apreciaría mucho si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esos temas!

¡Gracias!

Primero, está confundiendo la consistencia de CIC como una teoría ecológica con la consistencia de CIC como teoría lógica . El primero significa que no todos los términos de CIC (del mismo tipo) son equivalentes . El segundo significa que el tipo ⊥ no está habitado. CR implica el primer tipo de consistencia, no el segundo. Esto, como se ha señalado en los comentarios, está implícito en la normalización (débil). El ejemplo prototípico de esta situación es el cálculo λ puro : es equitativamente consistente (CR mantiene) pero, si lo considera como un sistema lógico (como Alonzo Church originalmente pensó) es inconsistente (de hecho, no se normaliza).$\beta\eta$$\bot$$\lambda$

En segundo lugar, como señaló Emil, incluso si CIC tiene una propiedad dada (CR o normalización), es perfectamente posible que CIC no pueda probar esa propiedad. En este caso, no veo ninguna inconsistencia en el hecho de que CIC pueda probar su propia propiedad CR, y supongo que este es el caso (los argumentos combinatorios elementales generalmente son suficientes para CR, y tales argumentos definitivamente caen dentro del enorme poder lógico de CIC). Sin embargo, CIC ciertamente no prueba su propia propiedad de normalización, precisamente debido al segundo teorema de incompletitud.