¿Propiedad de Church-Rosser para cálculo lambda tipológicamente dependiente?

13

Es bien sabido que la propiedad Church-Rosser es válida para reducción en cálculo lambda de tipo simple. Esto implica que el cálculo es consistente, en el sentido de que no todas las ecuaciones que involucran términos son derivables: por ejemplo, K I , ya que no comparten la misma forma normal. $\beta \eta$ $\lambda$ $\neq$

También se sabe que se puede extender el resultado a pares que corresponden a tipos de productos.

Pero me pregunto si se puede ampliar aún más el resultado para el cálculo lambda tipificado de forma dependiente (tal vez) con tipos polimórficos, por ejemplo, el cálculo de construcciones.

¡Cualquier referencia también sería genial!

Gracias

type-theory lambda-calculus dependent-type

— StudentType
fuente

8

Puede ser útil dar rápidamente el contraejemplo a CR en cálculos mecanografiados con y : $\beta$ $\eta$

t = λ X : UN . (λ y : si . y) X

$t=\lambda x:A.(\lambda y:B.\ y)\ x$

Y tenemos

t \to_{β} λ X : UN . X

$t\rightarrow_\beta \lambda x: A.x$ y

t \to_{η} λ y : si . y

$t\rightarrow_\eta \lambda y:B.y$

Es inmediato que si , entonces los dos términos resultantes son, de hecho, equivalentes, pero no hay razón para que esto sea así, en términos sin tipo . $A\equiv B$ $\alpha$

En términos escritos , está bastante claro que tiene que ser igual a para que el término resultante esté bien escrito. La gran dificultad que ocurre es esta: $A$ $B$ $t$

¡Para sistemas con tipos dependientes, la confluencia debe ser probada antes de la preservación del tipo!

Esto se debe a que necesita la propiedad de -inyectividad para probar la inversión, que se requiere para probar la preservación / reducción del sujeto. $\Pi$

Π X : UN . si =_{β η} Π X : {UN}^{'} . {si}^{'} \Leftrightarrow UN =_{β η} {UN}^{'} \land si =_{β η} {si}^{'}

$\Pi x:A.B=_{\beta\eta}\Pi x:A'.B'\ \Leftrightarrow\ A=_{\beta\eta}A'\wedge B=_{\beta\eta} B'$

Por lo tanto, ni siquiera puede probar que las preservan los tipos sin confluencia, ¡pero la confluencia ni siquiera se mantiene en términos sin tipo / sin tipo! $\beta\eta$

Salir de este círculo vicioso requiere algunos trucos técnicos, que son difíciles de resumir aquí, pero podría decirse que el más simple de entender es simplemente dejar de estar interesado en -reducciones, sino concentrarse en -expansions : $\eta$ $\eta$ $t\rightarrow_{\eta*}\lambda x:A.t\ x$

Por supuesto, debe restringir esta regla a términos no y no aplicados para incluso esperar obtener la terminación, pero con estas restricciones parece que el comportamiento de reducción se comporta mucho mejor, y la metateoría funciona sin demasiado muchos problemas. Una buena referencia parece ser Neil Ghani, Eta-Expansiones en la teoría del tipo dependiente . $\lambda$

Abel describe un enfoque diferente y recientemente bastante popular, Igualdad algorítmica sin tipo para el marco lógico de Martin-Löf con pares surjectivos .

— cody
fuente

7

Bastante se sabe sobre esto. El concepto de sistemas de tipo puro (PTS) es útil para mostrar Church-Rosser (CR) para grandes clases de cálculos escritos. Parafraseando (1): $\lambda$

PTS con solo reducción β satisface CR en términos mecanografiados. Esto se deduce inmediatamente de CR sobre 'pseudotermos', junto con la reducción de sujetos.
Para PTS con reducción ββ, CR en el conjunto de pseudotermos es falso. Ver (2).
En PTS con reducción de βη, CR se cumple para términos bien tipados de tipo fijo . Ver (1).

Los PTS son formalismos muy generales e incluyen el Sistema F, Fω, LF, así como el cálculo de las construcciones. Los dos últimos se escriben de forma dependiente. Ambos (1, 2) son documentos bastante antiguos, e imagino que se sabe más en 2015.

^{1. H. Geuvers, la propiedad Church-Rosser para la reducción βη en cálculos tipificados $\lambda$ .}

^{2. RP Nederpelt, fuerte normalización en un cálculo lambda tipificado con tipos estructurados lambda .}

— Martin Berger
fuente