Huck, como señalaron Lance y Robin, tenemos oráculos en relación con los cuales el PH no está en PP. Pero eso no responde a su pregunta, ¡cuál era la situación en el mundo "real" (no relativizado)!
La respuesta corta es que (como con mucho más en la teoría de la complejidad) no lo sabemos.
Pero la respuesta más larga es que hay muy buenas razones para conjeturar que efectivamente PH ⊆ PP.
Primero, el teorema de Toda implica PH ⊆ BP.PP, donde BP.PP es la clase de complejidad que "es a PP como BPP es a P" (en otras palabras, PP donde puede usar una aleatorización para decidir qué cálculo de MAYORÍA desea realizar). En segundo lugar, bajo hipótesis de deslealización plausibles (similares a las que se sabe que implican P = BPP, de Nisan-Wigderson, Impagliazzo-Wigderson, etc.), tendríamos PP = BP.PP.
Anexo, para abordar sus otras preguntas:
(1) Diría que no tenemos una intuición convincente sobre la cuestión de si PP = P PP . Sabemos, por los resultados de Beigel-Reingold-Spielman y Fortnow-Reingold, que el PP está cerrado bajo reducciones no adaptativas (tabla de verdad). En otras palabras, una máquina P que puede realizar consultas paralelas a un oráculo PP no es más poderosa que el propio PP. Pero el hecho de que estos resultados se desglosen por completo para consultas adaptativas (no paralelas) al oráculo PP sugiere que tal vez estos últimos sean realmente más poderosos.
(2) Del mismo modo, NP PP y coNP PP podrían ser aún más potentes que P PP . Y PP PP podría ser aún más poderoso, y así sucesivamente. La secuencia P, PP, P PP , PP PP , P PP ^ PP , etc. se llama jerarquía de conteo , y así como las personas conjeturan que PH es infinito, también se puede conjeturar (¡aunque tal vez con menos confianza!) Que CH es infinito. Esto está estrechamente relacionado con la creencia de que, en los circuitos de umbral de profundidad constante (es decir, las redes neuronales), agregar más capas de puertas de umbral le da más potencia de cálculo.