¿Todavía está abierto para determinar la complejidad de calcular el ancho de árbol de los gráficos planos?

Para una constante , se puede determinar en tiempo lineal, dado un gráfico de entrada , si su ancho de árbol es . Sin embargo, cuando y se dan como entrada, el problema es NP-hard. ( Fuente ) $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Sin embargo, cuando el gráfico de entrada es plano , parece que se sabe mucho menos sobre la complejidad. El problema aparentemente se abrió en 2010, una afirmación que también apareció en esta encuesta en 2007 y en la página de Wikipedia para descomposiciones de sucursales . Por el contrario, el problema se afirma NP-hard (sin prueba de referencia) en una versión anterior de la encuesta mencionada anteriormente, pero supongo que esto es un error.

¿Todavía está abierto para determinar la complejidad del problema, dado y un gráfico plano , de determinar que tiene un ancho de árbol ? Si es así, ¿se afirmó esto en un artículo reciente? ¿Se conocen resultados parciales? Si no es así, ¿quién lo resolvió? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
fuente

Pregunta interesante, aplausos por reiniciar la encuesta. Para agregar mis 2 centavos, creo que la fuente original para la prueba de tiempo lineal es Bodlaender, pero el factor constante oculto por la notación de complejidad asintótica es enorme. ¿Quizás una derivación / extensión interesante a su pregunta sería si la restricción plana permite un factor constante más práctico en este contexto?

— Fasermaler

Creo que es un "problema famoso y antiguo", por lo que si no encuentra un documento, probablemente siga siendo un problema abierto. Otras "evidencias": Conferencia del curso Graph Algorithms, Applications and Implementations (2015), Conferencia del curso Graphs & Algorithms: Advanced Topics (2014), Enciclopedia de algoritmos (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Se puede aproximar dentro de un factor constante (3/2) al usar el hecho de que él y el ancho de rama están dentro de una constante entre sí y el ancho de rama plano se puede calcular en tiempo polinómico. También se puede aproximar dentro del registro para todos los gráficos usando Leighton – Rao; ver kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler el primer paso en el algoritmo de Bodlaender (y los algoritmos anteriores que eran FPT pero no tiempo lineal) es calcular una descomposición aproximada del árbol en la que uno puede usar la programación dinámica para encontrar la descomposición óptima. Cuanto más estrecha sea la aproximación, más rápido será el segundo paso. Por lo tanto, el hecho de que se puedan encontrar aproximaciones más ajustadas al ancho de árbol plano usando el ancho de rama puede conducir a una mejor dependencia del parámetro (a expensas de volver al polinomio desde el lineal). Pero no sé de documentos que analicen esto cuidadosamente.

— David Eppstein

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

Hasta donde yo sé, la integridad de NP de calcular el ancho de árbol de un gráfico plano todavía está abierta. La referencia más reciente que conozco es una encuesta realizada por Bodlaender de 2012 llamada `Trazabilidad de parámetros fijos de ancho de árbol y ancho de camino 'que apareció en el festschrift para el 65 cumpleaños de Mike Fellows. El problema aparece en la conclusión de la encuesta.

— Bart Jansen
fuente

¡Gracias! (Y gracias también a @MarzioDeBiasi por sugerir otras referencias). Solo por curiosidad, ¿alguien también sabe cuándo se planteó el problema por primera vez?

— a3nm