Documentos para acreditar la partición espectral de gráficos

Si es un gráfico d- no dirigido y S es un subconjunto de los vértices de la cardinalidad ≤ | V | / 2 , llame a la expansión del borde de S la cantidad$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

Donde es el número de bordes con un punto final en A y un punto final en B . Entonces, el problema de la expansión Edge es encontrar un conjunto S con | S | ≤ | V | / 2 que minimiza ϕ ( S ) . Llame ϕ ( G ) la expansión de un conjunto óptimo.$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

El algoritmo de partición espectral para el problema de expansión de borde funciona al encontrar un vector propio del segundo valor propio más grande de A , la matriz de adyacencia de G , y luego considerar todos los `` conjuntos de umbrales '' S de la forma { v : x ( v ) ≤ t } sobre todos los umbrales t . Si dejamos que λ 2 sea ​​el segundo valor propio más grande de la matriz $x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, entonces el análisis del algoritmo de partición espectral muestra que el mejor conjunto de umbralesSSPencontrado por el algoritmo satisface$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

Que se desprende de las desigualdades de Cheeger

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

y

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

¿Cuál es el primer artículo en hacer tal reclamo? ¿Qué documentos son para acreditar las ideas? Esto es lo que tengo:

• N. Alon y VD Milman. , desigualdades isoperimétricas para gráficos y superconcentradores, Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  Demuestre un resultado en el espíritu de la desigualdad de Cheeger "simple" , pero para la expansión del vértice en lugar de la expansión del borde. Reconozca que la relación entre la expansión del borde y los valores propios es la versión discreta de un problema estudiado por Cheeger en $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J. Cheeger. Un límite inferior para el valor propio más pequeño del laplaciano. Problemas en el análisis, 1970.

• N. Alon. Valores propios y expansores. Combinatoria. 6 (2): 83-96, 1986.

  $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A. Sinclair, M. Jerrum. Recuento aproximado, generación uniforme y mezclado rápido de cadenas de Markov. Information and Computation 82: 93-133, 1989 (versión de conferencia 1987)

  Demuestre las desigualdades de Cheeger como se indicó anteriormente. (Su trabajo estudia la conductancia de las cadenas de Markov reversibles en el tiempo, lo que resulta ser igual a la expansión de bordes en gráficos regulares.) Acreditan el trabajo de Alon y Milman y de Alon por las técnicas. También acreditan a Aldous por un límite relacionado entre el tiempo de mezcla y la expansión de bordes en gráficos regulares.

• M Mihail. Conductancia y convergencia de cadenas de Markov: un tratamiento combinatorio de expansores. FOCS 1989, páginas 526-531

  $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

¿Hay otros documentos que deberían acreditarse en términos de técnicas de prueba?

¿Cuándo se reconoce por primera vez la importancia algorítmica de los resultados anteriores, como algoritmos de partición de gráficos? Los documentos anteriores no tienen tal discusión.

$\lambda_2$$\lambda_2$

Curiosamente, hay un comentario al final del artículo de Fiedler, que señala un informe técnico independiente de Anderson y Morley titulado Eigenvalues ​​of the Laplacian on a Graph from 1971, que aparentemente tenía ideas similares. Sin embargo, el artículo de Anderson y Morley con el mismo título apareció en Álgebra lineal y multilineal solo en 1985.

Algunas referencias adicionales que recuerdo de esa época:

1) Diaconis y Stroock, límites geométricos para valores propios de las cadenas de Markov, The Annals of Applied Probability, 1991; pero recuerdo tener en mis manos una preimpresión en algún momento de 1990. Este documento a su vez se refiere a

2) Dodziuk, ecuaciones de diferencia, desigualdad isoperimétrica y transitoriedad de ciertas caminatas aleatorias, Transactions of the American Mathematical Society, 1984.

Además, un importante documento "compañero algorítmico" para Sinclair y Jerrum en ese momento era

3) Dyer Frieze Kannan, un algoritmo de tiempo polinómico aleatorio para aproximar el volumen de cuerpos convexos, STOC 89. Por supuesto, los resultados aquí se construyeron sobre SJ.