La complejidad de encontrar un punto Borsuk-Ulam

El teorema de Borsuk-Ulam dice que por cada función impar continua $g$ desde una esfera n al espacio n euclidiano, hay un punto $x_0$ tal que $g(x_0)=0$ .

Simmons y Su (2002) describen un método para aproximar el punto $x_0$ usando el lema de Tucker . Sin embargo, no está claro cuál es la complejidad en tiempo de ejecución de su método.

Supongamos que se nos da un oráculo para la función $g$ un factor de aproximación $\epsilon>0$ . ¿Cuál es la complejidad del tiempo de ejecución (en función de $n$ ) de:

1. Encontrar un punto $x$ tal $|g(x)|<\epsilon$ ?
2. Encontrar un punto $x$ tal que el $|x-x_0|<\epsilon$ , cuando es un punto que satisface g ( x 0 ) = 0 ?$x_0$$g(x_0)=0$

Papadimitriou demostró que una versión de este problema está completa en PPAD en el documento que presenta esa clase, "Sobre la complejidad del argumento de paridad y otras pruebas ineficaces de existencia" .

Su formulación del problema es:

Borsuk-Ulam. Dado un entero n y una máquina de Turing que computa para cada punto con - n f ( p ) ≤ $P=(x_1,\dots,x_d)$ y max | x i | = n (la superficie de laesfera), una funcióncon. Encuentre unacon.$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ x| f(x)-f(-x)| ≤$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Nota al margen: muchas veces cuando ves un tipo de teorema de punto fijo, PPAD es una buena suposición por la complejidad de encontrarlo ...)

¿Cómo se da el oráculo y qué sabemos sobre ? Si el oráculo es de caja negra y solo sabemos que g es impar continuo, entonces ya para n = 1 podríamos requerir infinitas preguntas ...$g$$g$$n=1$

Si el oráculo es dado por alguna máquina de Turing, entonces usted entiende que su problema

1. FIXP-complete,

2. PPAD completo,

$\epsilon$