¿Qué evidencia hay de que el isomorfismo gráfico no está en

23

Motivado por el comentario de Fortnow en mi publicación, Evidencia de que el problema del isomorfismo gráfico no es $NP$ -completo , y por el hecho de que $GI$ es un candidato principal para $NP$ -problema intermedio (no $NP$ -completo ni en $P$ ), estoy interesado en evidencias conocidos que $GI$ no está en $P$ .

Una de esas pruebas es la completitud de $NP$ de un problema restringido de Automorfismo de Gráficos (el problema de Automorfismo de gráfico libre de punto fijo es $NP$ completo). Lubiw estudió este problema y otras generalizaciones de $GI$ en " Algunos problemas NP completos similares al isomorfismo gráfico ". Algunos pueden argumentar como evidencia el hecho de que a pesar de más de 45 años, nadie encontró algoritmo de tiempo polinómico para $GI$ .

¿Qué otra evidencia tenemos para creer que $GI$ no está en $P$ ?

cc.complexity-theory graph-isomorphism

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

2

El subgrafo-isomorfismo también es NP-completo.

$\;$

1

Una evidencia algo débil es la creciente clase de problemas que son equivalentes en el espacio de registro a GI, pero ninguno de los cuales parece tener algoritmos de polytime obvios. (Por supuesto, si uno de ellos tiene un algoritmo de polytime, entonces todos lo tienen)

— András Salamon

Evidencia circunstancial similar a P vs NP: décadas de optimización de algoritmos GI, por ejemplo, náutico que todavía tienen tendencias verificables no-P verificables experimentalmente, aparentemente principalmente en gráficos regulares aleatorios.

— vzn

1

ver también gráficos duros para pruebas GI

— vzn

¿Qué piensas sobre esto? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— Anna Tomskova

11

Antes de esta pregunta, mi opinión era que el isomorfismo gráfico podría estar en P, es decir, que no hay evidencia para creer que GI no está en P. Por lo tanto, me pregunté qué sería una evidencia para mí: si hubiera algoritmos maduros para - el isomorfismo grupal que explotó completamente la estructura disponible de los grupos y aún no tenía esperanza de lograr un tiempo de ejecución polinomial, entonces estaría de acuerdo en que GI probablemente no está en P. Hay algoritmos conocidos que explotan la estructura disponible como las pruebas de isomorfismo para - grupos por O'Brien (1994) $p$ $p$ $p$ , pero no lo he leído con suficiente detalle para juzgar si explota completamente la estructura disponible, o si hay alguna esperanza de mejorar este algoritmo (sin explotar la estructura adicional no obvia de los grupos ) para lograr el tiempo de ejecución polinomial. $p$

Pero sabía que Dick Lipton llamó a la acción a fines de 2011 para aclarar la complejidad computacional del problema del isomorfismo grupal en general, y del problema del isomorfismo del grupo específicamente. Así que busqué en Google $p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

para ver si el llamado a la acción había sido exitoso. Era de hecho:

La última publicación revisa un artículo que logra el tiempo de ejecución para ciertas familias importantes de grupos, explota gran parte de la estructura disponible y reconoce el documento mencionado anteriormente de 1994. Porque el tiempo de ejecución vinculado es compatible con la experiencia de que el isomorfismo gráfico no es difícil en la práctica, y con la experiencia de que nadie puede llegar a un algoritmo de tiempo polinómico (incluso para el isomorfismo grupal), esto se puede contar como evidencia de que GI no está en P . $n^{O(\log \log n)}$ $n^{O(\log \log n)}$

— Thomas Klimpel
fuente

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-intermediate-problems también apareció por mi búsqueda. Se cita el teorema 2 Graph isomorfismo está en . Además, cada problema de promesa en pertenece a como se define para problemas de promesa. ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$ ${\mathsf{SZK}}$ ${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ Esto es evidencia de que GI no es NP-completo, pero esta no era la pregunta aquí. Permítanme agregar que no veo ningún problema con la longitud o el estilo de mi respuesta, porque interpreto una solicitud de evidencia como una solicitud de opinión razonada.

— Thomas Klimpel

55

No sigo tu razonamiento. ¿Cómo puede saber que la "estructura disponible" está "totalmente explotada"? En todo caso, ¿no sugiere el documento de Grochow-Qiao que se puede hacer mucho más con las clases de cohomología?

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Por "estructura disponible", me refiero al conocimiento sobre la estructura en la comunidad de teoría de grupos, comunidades relacionadas y publicaciones existentes. Ejemplos en los que la estructura no está "totalmente explotada" son las publicaciones cuyo objetivo principal es crear un algoritmo práctico implementable, que por lo tanto se detiene en algún momento y solo menciona las limitaciones restantes sin indicaciones claras de si son fundamentales. El documento de Grochow-Qiao los revisó y atacó directamente la complejidad computacional del isomorfismo grupal, por lo tanto, sus resultados proporcionan una buena evidencia.

— Thomas Klimpel

11

¡El conjunto más pequeño de permutaciones que debe verificar para verificar que no existan permutaciones no triviales en un cuadro negro es mejor que pero aún exponencial, OEIS A186202 . $n!$

El número de bits necesarios para almacenar un gráfico sin etiquetar es de $log_{2}$ . Ver Naor, Moni. "Representación sucinta de gráficos generales sin etiquetar". Matemática Aplicada Discreta 28.3 (1990): 303-307. La prueba del método de compresión es un poco más limpia si no recuerdo mal. De todos modos, vamos llamada que establece. Deje ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$ $U$ para gráficos etiquetados. $L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)

y si convierte a exponenciales. Simplemente examinar sus firmas tipo poner gráficos en forma canónica parece más fácil, pero como se muestra arriba, GC facilita la IG. $U^L$ $Bool^{L^{L}}$

— Chad Brewbaker
fuente

Gracias. ¿Qué tan fuerte es este tipo de argumentos?

— Mohammad Al-Turkistany

¿Hay alguna referencia que se cite que documente más esta conexión?

— vzn

3

@ MohammadAl-Turkistany: Esto es básicamente un argumento de complejidad de consulta. Pero los algoritmos conocidos, como Babai-Luks 1983, ya superaron este límite, creo que por un margen bastante significativo (algo así como

versus

2^{n}

$2^n$

)

2^{\sqrt{n}}

$2^{\sqrt{n}}$

— Joshua Grochow

1

@ChadBrewbaker: si su inquietud se está codificando y la complejidad del caso promedio, estoy seguro de que la náutica funciona significativamente mejor que su algoritmo. (Tenga en cuenta que el más conocido límite inferior en nauty es

(Miyazaki 1996), y se encontró un algoritmo de tiempo poli para los gráficos Miyazaki. Simple análisis muestra una un límite inferior de

en su algoritmo.) Además, GI es en tiempo lineal de caso promedio (Babai-Kucera).

Ω (2^{n / 20})

$\Omega(2^{n/20})$

(3 / 2)^{n}

$(3/2)^n$

— Joshua Grochow

2

@ MohammadAl-Turkistany: esta pregunta me ha hecho pensar más profundamente sobre mis creencias sobre la complejidad de las indicaciones geográficas. Re: su otra pregunta, tenga en cuenta que si no hay una reducción de Turing poli-tiempo (o incluso muchos) de GI a GA, entonces P

NP.

\neq

$\neq$

— Joshua Grochow

8

Kozen en su papel, Un problema camarilla equivalente a isomorfismo gráfico , da una evidencia de que no está en . Lo siguiente es del documento: $GI$ $P$

"Sin embargo, es probable que encontrar un algoritmo de tiempo polinómico para el isomorfismo gráfico sea tan difícil como encontrar un algoritmo de tiempo polinómico para un problema de NP completo. En apoyo de esta afirmación, damos un problema equivalente al isomorfismo gráfico, una pequeña perturbación de los cuales es NP-completo ".

Además, Babai, en su reciente y novedoso trabajo Graph Isomorphism in cuasipolynomial time, presenta un argumento en contra de la existencia de algoritmos eficientes para GI. Se observa que el problema grupo isomorfismo (que es reducible a GI) es un obstáculo importante para la colocación de GI en . Problema Grupo isomorfismo (grupos están dadas por su Tableis Cayley) es resoluble en y no se sabe que estar en . $P$ $n^{O(\log n)}$ $P$

Aquí hay un extracto del artículo de Babai:

El resultado del presente trabajo amplifica la importancia del problema del isomorfismo grupal (y el problema de desafío declarado) como una barrera para colocar GI en P. Es muy posible que el estado intermedio de GI (ni NP-completo, ni tiempo polinomial) persistirá

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

2

Del Kozen's Lem. 3 se puede obtener un ejemplo más simple de este fenómeno: a saber, el isomorfismo inducido por subgrafo (es

un subgrafo inducido de

) es exactamente IG cuando

, pero es NP-hard cuando

H

$H$

G

$G$

| G | = | H |

$|G|=|H|$

para cualquier

| G | = c | H |

$|G|=c|H|$

c > 1

$c > 1$ . Para parámetros discretos, sabemos que hay problemas en P que rápidamente se completan con NP (por ejemplo, 2SAT vs 3SAT). ¿Sabes si hay ejemplos de problemas en P con algún parámetro continuo que se convierte en NP completo en un umbral agudo? Si es así, entonces este tipo de razonamiento no sería mucha evidencia de que GI no está en P, pero no puedo pensar en un ejemplo de este tipo.

— Joshua Grochow

2

@JoshuaGrochow No, no tengo conocimiento de tales problemas de decisión. Sin embargo, para problemas de optimización que sé que la búsqueda de una misión satisfacer

de las cláusulas está en

, mientras que encontrar una asignación satisfacer

de las cláusulas se

-difícil incluso para las fórmulas 3SAT satisfiable (

).

7 / 8

$7/8$

P

$P$

7 / 8 + ϵ

$7/8+ϵ$

N P

$NP$

ϵ > 0

$ϵ>0$

— Mohammad Al-Turkistany

Vaya, la respuesta de Klimpel ya contiene la evidencia del isomorfismo grupal. De todos modos, es útil tener la perspectiva de Babai sobre el asunto.

— Mohammad Al-Turkistany

Babai se retractó del reclamo de tiempo de ejecución cuasipolinomial . Aparentemente hubo un error en el análisis.

— Raphael

5

Aquí hay otros resultados aún no citados

Sobre la dureza del isomorfismo gráfico / Torán FOCS 2000 y SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

Mostramos que el problema del isomorfismo gráfico es difícil bajo DLOGTIME reducciones de AC ⁰ muchos-uno para las clases de complejidad NL, PL (espacio logarítmico probabilístico) para cada clase de espacio modular logarítmico Mod _k L y para la clase DET de problemas NC ¹ reducible a El determinante. Estos son los resultados de dureza más fuertes conocidos para el problema del isomorfismo gráfico e implican una reducción aleatoria del espacio logarítmico del problema de coincidencia perfecta al isomorfismo gráfico. También investigamos los resultados de dureza para el problema del automorfismo gráfico.
El isomorfismo gráfico no es AC ⁰ reducible a isomorfismo grupal / Chattopadhyay, Toran, Wagner

Damos un nuevo límite superior para los problemas de isomorfismo de grupo y cuasigrupo cuando las estructuras de entrada se dan explícitamente en tablas de multiplicar. Mostramos que estos problemas pueden calcularse mediante circuitos no deterministas de tamaño polinómico de abanico ilimitado con profundidad O (log log n) y O (log ² n) bits no deterministas, donde n es el número de elementos del grupo. Esto mejora el límite superior existente de [Wol94] para los problemas. En el límite superior anterior, los circuitos tienen límites de fanin pero profundidad O (log ² n) y también O (log ² n) bits no deterministas. Luego demostramos que el tipo de circuitos de nuestro límite superior no puede calcular la función de paridad. Como la paridad es AC ⁰reducible al isomorfismo gráfico, esto implica que el isomorfismo gráfico es estrictamente más difícil que el isomorfismo de grupo o cuasigrupo bajo el orden definido por las reducciones de AC ⁰ .

— vzn
fuente

44

Aunque estos son de hecho los límites inferiores más fuertes conocidos en IG, en realidad no dicen nada acerca de que no está en P. En el primer caso, DET no está tan cerca de P. En el segundo caso, tenga en cuenta que la estructura de los grados

dentro de P ya son bastante ricos.

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Joshua Grochow

re "límites inferiores más fuertes conocidos en GI", ofc GI está en NP, por lo que una prueba real de que GI no está en P es equivalente a P ≠ NP. (posiblemente a través de NPI ≠ ∅) ...

— vzn

44

Sí, pero, por ejemplo, ¡sería bueno saber que GI es P-hard! (Por supuesto, la dureza P tiene muy poco que ver con mostrar que algo no está en P, ¡pero al menos sugeriría que GI no está en NC!)

— Joshua Grochow