¿Cuál es la complejidad del estado del lenguaje de copia?

Deje que se dé un número . Considere el siguiente lenguaje $n$ . $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

En palabras, es el conjunto de cadenas de copia de longitud . $L_n$ $2n$

Considere la siguiente función de complejidad de estado tal que es el número de estados en los autómatas pushdown más pequeños que reconoce . $s$ $s(n)$ $L_n$

Pregunta: ¿Puede probar formalmente algún límite inferior significativo para ? $s(n)$

Mi conjetura: . $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

Límite superior conocido: . $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

Reglas:

(1) El alfabeto de pila debe ser binario.

(2) La cinta de entrada es unidireccional y no puede detenerse en ningún carácter de entrada.

— Michael Wehar
fuente

Actualmente no tengo ningún límite inferior significativo. Me parece que podrías probar un límite inferior para la cantidad de variables que necesitas para un CFG que reconozca el idioma. Aunque, ni siquiera estoy totalmente seguro de esto.

— Michael Wehar

Mi intuición es que cuando empujas caracteres de la cinta de entrada a la pila, te encuentras con un problema. Si alguna vez desea recuperar estos bits más adelante, debe tirar todos los bits que empujó por encima. En otras palabras, parece que la pila no te ayuda porque cuanto más lo empujas, más te verás obligado a olvidar más adelante.

— Michael Wehar

Observación: para DFA (autómatas sin pila), puede probar un límite inferior de complejidad de estado exponencial.

— Michael Wehar

¿Puede mostrar un límite inferior razonable para el problema más simple de

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— András Salamon

Un límite superior más preciso parece ser

estados.

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— András Salamon

La técnica descrita por Yuval:

¿Existe un tamaño polinómico CFG que describa este lenguaje finito?

(también puede leer: Límites inferiores en el tamaño de los CFG para idiomas específicos finitos )

$G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ $2^{\Theta(n)}$

$2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— Joseph Stack
fuente

Impresionante, gracias de nuevo! Ahora veo y lo pensaré para confirmar. :)

— Michael Wehar

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

Véase también el Teorema 7 en mi artículo: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf .

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus También vale la pena señalar que Andras pasó un poco de tiempo tratando de hacer coincidir los límites superior e inferior. Mi amigo Pepe y yo definimos una clase general de lenguajes finitos y les aplicamos la técnica. Sin embargo, nunca escribimos nada. Si alguna vez tiene algún problema relacionado, estaríamos más que dispuestos a colaborar. Gracias de nuevo.

— Michael Wehar