"Incrustar" un lenguaje en sí mismo

Pregunta principal / general

Deja que $L$ sea un idioma. Defina los idiomas $L_i$ con $L_0 = L$ y

L_{i} = {x w y : x y \in L_{i - 1}, w \in L}

$L_i = \{xwy : xy \in L_{i-1}, w \in L\}$ para

i \geq 1

$i \geq 1$ . Considere

. Por lo tanto, hacemos repetidamente "Insertar"

sobre sí misma para obtener

\hat{L} = ⋃ L_{i}

$\hat{L} = \bigcup L_i$

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

Ha ha estudiado? Eso tiene un nombre? $\hat{L}$

Ejemplos / Motivación

Como se solicita en los comentarios de aquí están algunos ejemplos para ilustrar mejor lo que es. Entonces, dado que nadie (hasta ahora) parece haber visto esta noción, discutiré mi motivación para verla. $\hat{L}$

Klaus Draeger me ganó para agregar ejemplos. Pondré esos ejemplos de los comentarios aquí para una mayor visibilidad, ya que son buenos ejemplos.

Si $L$ es un lenguaje unario , entonces (y por lo tanto es regular). $\hat{L} = L^+$

Si $L = {ab}$ , entonces es el lenguaje de Dyck . $\hat{L}$

Aquí es una forma alternativa de pensar en . Dado un lenguaje sobre un alfabeto , jugamos el siguiente juego. Tomamos cualquier el intento de reducir en la cadena vacía quitando repetidamente palabras parciales que se encuentran en . (Aquí debemos tener un poco de cuidado en cómo tratamos la cadena vacía en sí para asegurarnos de que esto sea equivalente a la definición anterior, pero esto es moralmente correcto). $\hat{L}$ $L$ $A$ $w \in A^*$ $w$ $\epsilon$ $L$

Originalmente vine definen el considerando poderes eliminación de las palabras. Tome como el lenguaje de los cubos sobre el alfabeto binario . Entonces y podemos considerar lo siguiente " -deletion" $\hat{L}$ $L = \{w^3 : w \in A^*\}$ $A = \{a,b\}$ $aaabaabaabbabab \in \hat{L}$ $L$

a (a a b a a b a a b) b a b a b \to a b a b a b \to ϵ .

$a(aabaabaab)babab \to ababab \to \epsilon.$

Observe que no todas las eliminaciones funcionarán

(a a a) b a a b a a b b a b a b \to b a a b a a b b a b a b

$(aaa)baabaabbabab \to baabaabbabab$

y estamos atrapados con una palabra sin cubo. Por lo tanto, hay otra anotación de "totalmente en -deletable", que en general no coincide con . $L$ $\hat{L}$

Un último ejemplo, si en el idioma de cuadrados sobre el binario alfabeto , entonces es las cuerdas con tanto un número par de 's y un número par de ' s. Claramente esta condición es necesaria. Una forma de ver que es suficiente es considerar eliminar cuadrados y recordar que cada palabra binaria de longitud 4 o grande tiene un cuadrado. Aquí es regular. $L$ $A = \{a,b\}$ $\hat{L}$ $a$ $b$ $\hat{L}$

Para alfabetos más grandes, este tipo de argumento falla ya que hay palabras arbitrariamente largas sin cuadrados . Con alfabetos de tamaño puedo mostrar no es regular el uso de Myhill-Nerode y el hecho de que hay arbitrariamente palabras de largo cuadrados libres, pero no han sido capaces de decir mucho más. Esperaba que mirarlo de esta manera más abstracta pudiera arrojar algo de luz sobre la situación (y esta definición más abstracta parece interesante por derecho propio). $k \geq 3$ $\hat{L}$

reference-request fl.formal-languages

— John Machacek
fuente

¿Puedes dar algunos ejemplos ilustrativos?

— phs

Algunos ejemplos: si

es el idioma Singleton

, entonces

es el lenguaje de Dyck de cadenas equilibrado de paréntesis; para un idioma

sobre un alfabeto Singleton obtenemos

(lo que siempre es regular en este caso).

L

$L$

{()}

$\{()\}$

\hat{L}

$\hat{L}$

L = {a^{i} | i \in I}

$L=\{a^i|i\in I\}$

\hat{L} = L^{+}

$\hat{L}=L^+$

— Klaus Draeger

@phs He modificado la pregunta con (mucho) más detalle.

— John Machacek

Uno de los resultados más relativamente sencilla es que si

es libre de contexto, entonces también lo es

L

$L$

\hat{L}

$\hat{L}$

— Klaus Draeger

Gracias por los ejemplos y la motivación. Ahora es mucho más fácil recordar su problema y pasarlo. Siga actualizando su pregunta original si tiene nuevos desarrollos.

— phs

Esta pregunta está relacionada con los llamados sistemas de inserción .

Un sistema de inserción es un tipo especial de sistema de reescritura cuyas reglas son de la forma para todas las en un lenguaje dado . Escribamos si y para algunos . Denotemos por la clausura transitiva reflexiva de la relación . El cierre de una lengua de $1 \rightarrow r$ $r$ $R$ $u \rightarrow_R v$ $u = u'u''$ $v = u'ru''$ $r \in R$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $\rightarrow_R$ $L$ $A^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$

[L]_{{\overset{*}{\to}}_{R}} = {v \in A^{*} ∣ there exists u \in L such that u {\overset{*}{\to}}_{R} v}

$[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R} = \{ v \in A^* \mid \text{ there exists $u \in L$ such that $u \buildrel{*}\over\rightarrow_R v$} \}$

E

$E$

⩽

$\leqslant$

x_{0}, x_{1}, \dots

$x_0, x_1, \ldots$

E

$E$

i < j

$i < j$

x_{i} ⩽ x_{j}

$x_i \leqslant x_j$ . El siguiente teorema se demuestra en [1]:

Si es un conjunto finito de palabras de modo que el lenguaje es finito, entonces la relación es un cuasi-orden en y es regular. $H$ $A^* \setminus A^*HA^*$ $\buildrel{*}\over\rightarrow_R$ $A^*$ $[L]_{\buildrel{*}\over\rightarrow_R}$

[1] W. Bucher, A. Ehrenfeucht y D. Haussler, Sobre los reguladores totales generados por las relaciones de derivación, Theor. Comput Sci. 40 , 2-3 (1985), 131-148.

— J.-E. Alfiler
fuente

Como J.-E. Pin señaló que mi pregunta trata sobre la inserción . He encontrado otra fuente que publicaré aquí para cualquier persona interesada.

L.Kari. Sobre inserción y eliminación en idiomas formales. Doctor. Tesis, Universidad de Turku, 1991.

Aquí está la Parte I y la Parte II de la tesis.

Por lo que puedo decir, esta es la fuente original para el estudio de la inserción.

— John Machacek
fuente