¿El ancho de árbol

Dejemos que $k$ sea fijo, y que $G$ sea un gráfico (conectado). Si no me equivoco, se deduce del trabajo de Bodlaender [1, Teorema 3.11] que si el ancho de árbol de $G$ es aproximadamente de al menos $2k^3$ , entonces $G$ contiene una estrella $K_{1,k}$ como menor.

¿Podemos hacer que el término $2k^3$ más pequeño? Es decir, ¿decir que el ancho de árbol al menos $k$ ya implica la existencia de un $K_{1,k}$ menor? ¿Hay alguna prueba en alguna parte?

[1] Bodlaender, HL (1993). En pruebas de tiempo lineal menores con búsqueda de profundidad primero. Diario de Algoritmos, 14 (1), 1-23.

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
fuente

Un resultado vagamente relacionadas de Demaine y Hajiaghayi : Para un gráfico fijo

H

$H$ , cualquier

H

$H$ --Menor libre gráfico de treewidth

w

$w$ tiene un

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$ de rejilla gráfica menor.

— mhum

@mhum la constante en

Ω

$\Omega$ depende exponencialmente de

| H |

$|H|$ , por lo que aplicarlo directamente dará un límite peor que

2 k^{3}

$2k^3$ .

— daniello

@daniello Ese es el caso. La constante no es muy agradable y la especialización en gráficos libres de

tampoco es excelente. Solo quería señalar un resultado vagamente relacionado.

H

$H$

— mhum

De hecho, es cierto que cada gráfico sin menor tiene un ancho de árbol como máximo . Probamos esto a continuación, primero algunas definiciones: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

Deje sea el treewidth de y sea el tamaño máximo de un clique en . Un gráfico es una triangulación de si es un subgrafo de y es cordal (es decir, no tiene ciclos inducidos en al menos vértices). Una triangulación de es una triangulación mínimo si no subgrafo adecuada de es también una triangulación de . Un subconjunto de vértices de $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

La fórmula anterior implica que para demostrar que es suficiente para demostrar que todas las camarillas máximas potenciales de tienen un tamaño como máximo . Ahora demostramos esto. Sea una camarilla máxima potencial de y suponga que . $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

Utilizaremos la siguiente caracterización de posibles camarillas máximas: un conjunto de vértices es una camarilla máxima potencial en si, y solo si, para cada par , de vértices no adyacentes (distintos) en hay un camino a partir de a en con todos sus vértices internos fuera de . Esta caracterización se puede encontrar en el documento Ancho de árbol y Relleno mínimo: Agrupando los separadores mínimos de Bouchitte y Todinca. $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

Con esta caracterización es fácil derivar una menor de . Dejar que . Para cada vértice , ya sea es un borde de o hay un camino a partir de a con todos los vértices internos fuera . Para todos los que no son adyacentes a contraen todos los vértices internos de en . Terminamos con un menor de en el que es adyacente a todo , y $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ . Entonces, el grado de en este menor es al menos , completando la prueba. $u$ $k$

— daniello
fuente

Gracias Daniel! ¿Sabes si el mismo argumento (o resultado, realmente) se ha publicado en alguna parte?

— Juho

No tengo una referencia, pero parece recordar que un argumento similar (posiblemente menos ajustado) para los gráficos libres está escrito en alguna parte. Lamentablemente no tengo un puntero más concreto.

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— daniello