¿Aplicaciones para la teoría de conjuntos, la teoría ordinal, la combinatoria infinita y la topología general en informática?

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Soy matemático interesado en la teoría de conjuntos, la teoría ordinal, la combinatoria infinita y la topología general.

¿Existen aplicaciones para estos temas en informática? He buscado un poco y he encontrado muchas aplicaciones (por supuesto) para la teoría de grafos finitos, topología finita, topología de baja dimensión, topología geométrica, etc.

Sin embargo, estoy buscando aplicaciones de los objetos infinitos de estos temas, es decir, árboles infinitos ( árboles de Aronszajn, por ejemplo), topología infinita, etc.

¿Algunas ideas?

¡¡Gracias!!

set-theory topology topological-graph-theory

— usuario135172
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ver también Aplicación de temas de teoría de conjuntos como ordinales, forzado, filtros genéricos en ingeniería de software cs.se

— vzn

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Además de la gran respuesta de Neel, es posible que también le interesen los ordinales computables, que juegan un papel interesante en la teoría de la computabilidad: en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Joshua Grochow

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Una aplicación importante de la topología en semántica es el enfoque topológico de la computabilidad.

La idea básica de la topología de la computabilidad proviene de la observación de que la terminación y la no terminación no son simétricas. Es posible observar si un programa de caja negra finaliza (simplemente espere lo suficiente), pero no es posible observar si no finaliza (ya que nunca puede estar seguro de que no ha esperado lo suficiente para ver que finaliza). Esto corresponde a equipar el conjunto de dos puntos {HALT, LOOP} con la topología de Sierpinski, donde $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ Son los conjuntos abiertos. Entonces, básicamente, podemos llegar bastante lejos equiparando "conjunto abierto" con "propiedad computable". Una sorpresa de este enfoque para los topólogos tradicionales es el papel central que juegan los espacios que no son de Hausdorff. Esto se debe a que básicamente puedes hacer las siguientes identificaciones

\begin{matrix} C o metro pag tu t un si yo l yo t y & T o pag o l o sol y \\ Tipo & Espacio \\ Función computable & Función continua \\ Conjunto decidible & Clopen set \\ Conjunto semidecidible & Conjunto abierto \\ Conjunto con complemento semidecidable & Conjunto cerrado \\ Establecer con igualdad decidible & Espacio discreto \\ Conjunto con igualdad semidecida & Espacio de Hausdorff \\ Conjunto de búsqueda exhaustiva & Espacio compacto \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

Dos buenas encuestas de estas ideas son la topología de MB Smyth en el Manual de lógica en informática y la topología sintética de Martin Escardo de tipos de datos y espacios clásicos .

Los métodos topológicos también juegan un papel importante en la semántica de la concurrencia, pero sé mucho menos sobre eso.

— Neel Krishnaswami
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¡Gracias por tu respuesta esclarecedora! Echaré un vistazo.

— user135172

¿Es posible buscar una topología más fina solo para la jerarquía polinómica?

— T ....

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Se puede encontrar una aplicación fascinante de estas ideas en la serie de publicaciones "Programas funcionales aparentemente imposibles" - math.andrej.com/2007/09/28/… , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -proofs

— jkff

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N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

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El Premio Gödel 2004 fue compartido entre los periódicos:

La estructura topológica de la computación asincrónica .
Por Maurice Herlihy y Nir Shavit, Journal of the ACM, vol. 46 (1999), 858-923
El acuerdo k-set sin esperas es imposible: la topología del conocimiento público .
Por Michael Saks y Fotios Zaharoglou, SIAM J. on Computing, vol. 29 (2000), 1449-1483.

Citas del Premio Gödel 2004:

Los dos documentos ofrecen uno de los avances más importantes en la teoría de la computación distribuida.

El descubrimiento de la naturaleza topológica de la computación distribuida proporciona una nueva perspectiva sobre el área y representa uno de los ejemplos más llamativos, posiblemente en todas las matemáticas aplicadas, del uso de estructuras topológicas para cuantificar los fenómenos computacionales naturales.

Publicación relacionada: Aplicaciones de la topología a la informática

— hengxina
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Aunque estas son ciertamente excelentes aplicaciones de topología en TCS, en realidad son aplicaciones de "topología combinatoria / algebraica" en lugar de lo que creo que el OP significaba "topología general" (que está más en el punto-teórico / conjunto-teórico / lógico arena).

— Joshua Grochow

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El comportamiento de un sistema reactivo a menudo se modela utilizando estructuras infinitas (árboles de cálculo infinitos trazados e infinitos) y sus propiedades temporales (propiedades de seguridad y vitalidad) también se han caracterizado mediante la topología.

Definición de vivacidad Alpern y Schneider

Seguridad y vitalidad en el tiempo de ramificación Manolios et. Alabama.

— Mitesh J
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