Sobre la conjetura de expansión del conjunto pequeño

Dado un gráfico y un δ > 0, uno quiere calcular h ( G , δ ) = m i n | S | ≤ δ | V | ϕ ( S ) . ( ϕ ( S ) = E ( S , ˉ S$G=(V,E)$$\delta > 0$$h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)$ ) La `` conjetura de expansión de conjunto pequeño '' establece que es NP-Hard determinar si esto está por debajo deϵo por encima de1-ϵparaϵ=1/O(log($\phi(S) = \frac{ E(S,\bar{S}) }{d min \{\vert S \vert , n - \vert S\vert \} }$$\epsilon$$1-\epsilon$$\epsilon = 1/O(log(\frac{1}{\delta} ) )$

Para el contexto, se observa que es la constante de Cheeger que se sabe que es NP-difícil de unir. Pero parece que existen valores deδ(¿cuáles?) Para los cualesϕ(G,δ)se puede calcular en tiempo polinómico?$h(G,\delta = \frac{1}{2})$$\delta$$\phi(G,\delta)$

Hacia la comprensión de la conjetura de expansión de conjuntos pequeños, uno parece probar esta afirmación,

• Si es el lapso de los vectores propios de Laplacian de G, de modo que sus valores propios son menores que algunos λ ∈ [ 0 , 1 ] y si cada w ∈ W satisface E i [ w 4 i ] ≤ C ( E i [ w 2 i ] ) 2 entonces para cada conjunto S tal que | S | ≤ δ | V | tenemos$W$$G$$\lambda \in [0,1]$$w \in W$$\mathbb{E}_i[w_i^4 ] \leq C ( E_i [w_i ^2 ] )^2$$S$$\vert S \vert \leq \delta \vert V \vert$$\phi(S) \geq \lambda(1 - \sqrt{C \delta} )$

[Referencia, Lema 8 aquí, http://www.boazbarak.org/sos/files/lec2d.pdf ]

Mis preguntas son

• ¿Cómo ayuda el teorema anterior a comprender la conjetura planteada al principio? ¿Cuál es la relación entre los dos?

• ¿Por qué tales vectores existen según lo exigido en el teorema? ¿Cuál es la intuición detrás de mirar tal w ?$w$$w$

• ¿Cuál es la intuición detrás de elegir ese valor específico de como en el enunciado de la conjetura?$\epsilon$

Creo que lo siguiente debería responder a sus preguntas, aunque no esté exactamente en el mismo orden.

La formulación original de la conjetura de expansión de conjuntos pequeños establece que, de forma análoga a la Conjetura de juegos únicos, para cada existe δ > 0, por lo que es NP-difícil determinar si en un gráfico G es el caso "SÍ" donde existe un conjunto de tamaño δ con una expansión inferior a ϵ o es el caso "NO" donde cada conjunto de tamaño δ tiene una expansión de al menos 1 - ϵ . El documento de Raghavendra, Steuerer y Tulsiani https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/ssereductions.pdf mostró que esto es equivalente al caso donde ϵ $\epsilon >0$$\delta>0$$G$$\delta$$\epsilon$$\delta$$1-\epsilon$ y, de hecho, el caso donde en el caso NO, para cada δ ′ ≥ δ , los conjuntos de tamaño δ ′ tienen al menos la misma expansión que tendrían en el "gráfico gaussiano ϵ- ruidoso" (Ver el documento para la declaración precisa). La razón de la relación ϵ = O ( log ( 1 / δ ) $\epsilon = O(\log (1/\delta))$$\delta' \geq \delta$$\delta'$$\epsilon$$\epsilon = O(\log (1/\delta))$es porque esta es la relación entre esos parámetros en el gráfico de ruido gaussiano. Este resultado de Raghavendra et al. Puede considerarse como el análogo de expansión de conjunto pequeño para el papel de Khot, Kindler, Mossell y O'Donnell, quienes mostraron un resultado similar para juegos únicos, dando una relación muy precisa entre los parámetros (que en la configuración de juegos únicos se conoce como el tamaño del alfabeto) y ϵ .$1/\delta$$\epsilon$

El resultado que mencionas discutido en mis notas de la conferencia es de la Sección 8 en mi trabajo con Brandao, Harrow, Kelner, Steurer y Zhou ( https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/hypercontract.pdf ). Lo que mostramos allí, en términos generales, es que un gráfico es un pequeño expansor de conjuntos si y solo si el lapso de los vectores propios correspondientes a los valores propios bajos de su Laplaciano no contiene un vector "analíticamente escaso".

La intuición es la siguiente: considere los dos extremos siguientes:

$w$$w$$\mathbb{E}_i w_i^4 = O(\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

$w$$\delta$$1$$0$$\mathbb{E}_i w_i^4 = \delta \gg \delta^2 = (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

$W$$\epsilon$$\epsilon$$\delta$$w$$W$$\mathbb{E}_i w_i^4 \gg (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$$w$$o(1)$