La dureza de generar una instancia de un problema que es más difícil que la complejidad del problema resultante.

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En la película Inception, Cobb le pide a Ariadne que le pida que diseñe un laberinto que le tome el doble de tiempo. Esto se presta a un problema generalizado en el que tenemos una situación en la que los recursos están limitados por una cierta cantidad y quien verifique que este problema se encuentre en la clase de complejidad dada que tomará más tiempo o espacio para resolver. ¿Es este un problema nuevo?

— Joshua Herman
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¿Cómo representas los problemas?

— Kaveh

@Kaveh: ¿Quizás la forma de formalizar esto es que el problema está solucionado y la tarea es generar instancias difíciles en tiempo polinómico? Por ejemplo, el problema representado en la imagen es un problema de búsqueda, la entrada es un laberinto solucionable y la salida es una ruta válida a través del laberinto.

— Robin Kothari

1. "toma el doble de tiempo que el diseño": ¿qué significa eso? "como están las cosas"? ¿Hay algún error tipográfico o algunas palabras faltantes en alguna parte de esa oración? Me está costando analizarlo. 2. "quien verifique que este problema se encuentra en la clase de complejidad dada, o bien tomará más tiempo y espacio para resolverlo". - También tengo dificultades para analizar esto. ¿Cuál es el verbo en esa frase? "(¿quién verificará que este problema está en la clase de complejidad dada)" qué hará?

— DW

Lo siento, no entiendo la pregunta: "diseñar un laberinto que demore el doble de diseño" todavía no tiene sentido. ¿Te refieres a "diseñar un laberinto que lleva el doble de tiempo resolver que diseñar", o "diseñar un laberinto que toma el doble de tiempo de diseño que resolver"?

— András Salamon

Respuestas:

Esta situación aparece con frecuencia en criptografía, donde desea generar instancias de problemas difíciles junto con sus soluciones. Por ejemplo, existe el trabajo de Eric Bach (y más tarde, Adam Kalai) sobre la generación eficiente de enteros aleatorios con sus factorizaciones principales.

Una de las muchas observaciones interesantes de Impagliazzo y Wigderson (Aleatoriedad versus tiempo: desrandomización bajo una suposición uniforme. J. Comput. Syst. Sci., 63: 672–688, 2001) es que uno puede generar eficientemente matrices aleatorias uniformes módulo p junto con sus permanentes (Piénselo ... use la auto-reducibilidad del permanente ...) Además, sabemos que el permanente es auto-reducible al azar . Entonces este es un ejemplo de un problema muy difícil para el cual podemos generar instancias resueltas de manera eficiente.

— Ryan Williams
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Otra referencia clásica en este sentido: generar instancias difíciles de problemas de red

— Daniel Apon

Primero, no creo que el protocolo Arthur-Merlin tenga que ingresar al modelo; parece que la motivación es que solo quieres producir instancias de problemas rápidamente para que cualquier algoritmo para resolverlos sea lento. En otras palabras, si pudiéramos demostrar que Arthur puede producir un problema difícil, entonces parece que Merlín no necesita verificar que el problema producido es difícil.

Muy relacionada está esta pregunta : ¿podemos generar en tiempo polinómico un lenguaje que no sea decidible en tiempo polinómico? La respuesta es sí si P unario no es igual a NP unario.

$f$ $x$ $f$ $f(x)$ $x$

$n$ $n$ $i$ $\{1,\dots,n\}$ $i$

— usul
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Creo que te refieres a "P unario no es igual a NP unario"

— Ryan Williams