Programación lineal entera en número logarítmico de variables

Leí que la programación lineal entera se puede resolver en tiempo polinominal si el número de variables es fijo, es decir, . Si el número de variables crece logarítmicamente, es decir, para una entrada dada de tamaño , ¿el problema aún se puede resolver en tiempo polinominal o es un problema abierto? $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— usuario3613886
fuente

¿No puede agregar restricciones trivialmente verdaderas para aumentar el tamaño de la entrada?

— joro

¿Por qué debería querer aumentar el tamaño de la entrada?

— user3613886

Para que la entrada sea tan grande que el número de variables sea logarítmico y se ajuste a su pregunta.

— joro

pero en la pregunta ya asumimos que las variables son logarítmicas en comparación con el tamaño de entrada

— user3613886

Pensé en hacer todas las instancias como suyas, pero esto podría aumentar exponencialmente la entrada.

— joro

Solo puedo dar una respuesta parcial a esta pregunta.

Un resultado de Lenstra (luego mejorado por Kannan y Frank y Tardos) afirma que ILP con variables se pueden resolver en el tiempo (multiplicado por un polinomio en el tamaño de ILP). Por lo tanto, ILP está en P cuando el número de variables es . No estoy seguro de si se conoce un algoritmo de , o si dicho algoritmo contradeciría el ETH. $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

Encontré esta información en la disertación de Daniel Lokshtanov. Aquí están las referencias relevantes.

HW Lenstra. Programación de enteros con un número fijo de variables. Mathematics of Operations Research, 8: 538–548, 1983.
R. Kannan. Teorema del cuerpo convexo de Minkowski y programación de enteros. Mathematics of Operations Research, 12: 415–440, 1987.
Andras Frank y Eva Tardos. Una aplicación de aproximación de diofantina simultánea en la optimización combinatoria. Combinatorica, 7: 49–65, 1987.

— Michael Lampis
fuente

Creo que necesitarías un algoritmo O (k ^ p) para una p fija, ya que incluso un algoritmo con 2 ^ O (k) sería exponencial?

— user3613886

Lo siento, usé una notación diferente de la pregunta. Por

quiero decir el número de variables, y

es el tamaño de la entrada, por lo que un algoritmo de

sería de tiempo polinomial si

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— Michael Lampis

Pero supongamos que tiene solo variables binarias, ¿no sería fuerza bruta

2^{k}

$2^k$

— user3613886

@ user3613886, claro, por supuesto, pero ese es un problema / pregunta diferente. No se nos prometió en la pregunta que las variables son binarias.

— DW

¿No puede agregar restricciones trivialmente verdaderas para aumentar el tamaño de la entrada?

— joro