Sistemas de suma de vectores con "obstáculos" finitos

Un sistema de adición de vectores (VAS) es un conjunto finito de acciones $A \subset \mathbb{Z}^d$ . $\mathbb{N}^d$ es el conjunto de marcas . Una carrera es una palabra no vacía de marcas $m_0 m_1\dots m_n$ st $\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$ . Si tal palabra existe, decimos que $m_n$ es accesible desde $m_0$ .

Se sabe que el problema de la accesibilidad para los VAS es decidible (pero su complejidad es un problema abierto).

Ahora supongamos que se da un conjunto finito de marcas prohibidas (los obstáculos ). Me gustaría saber si el problema de la accesibilidad aún es decidible.

Intuitivamente, el conjunto finito de obstáculos debería interferir con los caminos solo localmente, por lo que el problema debería ser decidible. Pero no parece trivial probarlo.

EDITAR . Mantendré la respuesta de @ Jérôme como la aceptada, pero me gustaría agregar una pregunta de seguimiento: ¿qué pasa si el conjunto de marcas es $\mathbb{Z}^d$ ?

La idea se basa en una discusión que tuve con Grégoire Sutre esta tarde.

El problema es decidible de la siguiente manera.

Una red Petri es un conjunto finito de pares en N d × N d llamados transiciones. Dada una transición t = ( → u , → v ) , denotamos por t → la relación binaria definida en el conjunto de configuraciones N d por → x t → → y si existe un vector → z ∈ N d tal que → x = → u + → z y$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$ . Denotamos por T → la relación de accesibilidad de un paso⋃t∈T t → . El cierre reflexivo y transitivo de esta relación se denota por T ∗ → .$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$

Sea el orden parcial clásico por componentes sobre N d y definido por → u ≤ → x si existe → z ∈ N d tal que → x = → u + → z . El cierre hacia arriba de un conjunto → X de N d es el conjunto ↑ → X de vectores { → v ∈ N d ∣ ∃ → x ∈ → $\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{X}$. El cierre hacia abajo de un conjunto → X es el conjunto↓ → X de los vectores{ → v ∈Nd∣∃ → x ∈ → x$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$${\downarrow}\vec{X}$.$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

Tenga en cuenta que si para un conjunto finito → B de N d y si T es una red de Petri, podemos calcular una nueva red de Petri T → B de manera que para cada configuración → x , → y , tengamos → x T → → y y → x , → y ∈ → U si, y solo si, → x T → B → → $\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$$\mathbb{N}^d$1≤i≤dT → U ={t → b ∣t∈$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$ cumple el requisito.

Ahora, suponga que es una red de Petri, el conjunto de obstáculos. Introducimos el conjunto finito . Observe que podemos calcular efectivamente un conjunto finito de tal que . Sea la relación binaria definida sobre por if , o existe tal que→ O → D = ↓ → O → B N d ↑ → B = N d ∖ → D R N d ∖ → O → x R → y → x = → y → x ′ , → y ′ ∈ N d ∖ → O → x T → → x ′ T ∗ $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$.

Ahora, solo observe que si existe una ejecución desde la configuración inicial hasta la final que evita el obstáculo , entonces existe una que evita el obstáculo en y eso pasa por configuraciones en como máximo el cardenal de ese conjunto. Por lo tanto, el problema se reduce a seleccionar configuraciones distintas no deterministas in , corregir como la configuración inicial , como la final , y verifique que→ y → O → O → D ∖ → O → c 1,…, → c n → D ∖ → O → c 0 → x cn+1 → y → c jR → c j+1$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$ por cada . Este último problema se reduce a las preguntas clásicas de accesibilidad para las redes de Petri.$j$

He estado pensando en su pregunta para los sistemas de adición de vectores con estados (VASS) que son equivalentes a VAS y se me ocurrió esta solución. Ahora, he leído la buena respuesta de Jérôme y tengo que decir que mi respuesta es muy similar, así que acepte su respuesta incluso si considera que la mía es correcta.

Idea: es posible convertir un VASS en un VASS que prohíbe vectores más pequeños o iguales a los obstáculos. Esto no es exactamente lo que queremos, ya que se permite alcanzar vectores más pequeños pero no iguales a los obstáculos. Sin embargo, hay finitamente muchos de esos vectores. Esto permite una descomposición de ejecuciones mínimas en muchas ejecuciones que son una transición de o una ejecución equivalente de . Por lo tanto, sí , el problema es decidible.V ′ V V $V$$V'$$V$$V'$

Detalles: Let ser un -VASS, es decir, es un gráfico marcado finito tal que . Deje que sea ​​el conjunto de obstáculos. Deje y , escribimos siempre que sea ​​un ejecutar de para con cada configuración intermedia en . Denotamosd V T ⊆ Q × Z d × Q O ⊆ N p ( u ) π → X q ( v $V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$ pi ∈ T * X ⊆ N$O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$$\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$ .

Sea una ejecución mínima tal que , es decir, una ejecución mínima que evita los obstáculos Luego, según el principio del casillero, se puede factorizar como una carrera que ingresa solo finitamente muchas veces. Más formalmente, existen , y tal que$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$ ,
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$ ,
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$ .
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$.

Por lo tanto, es suficiente adivinar , y las configuraciones intermedias. Prueba de si se puede llevar a cabo convirtiendo en un nuevo -VASS donde cada transición se reemplaza por un gadget de transiciones. Por ejemplo, si , las transiciones se reemplazan de la siguiente manera:$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$