Para denotan por el elemento más pequeño de .
Para dos conjuntos de elementos , , decimos que si para cada .
A hypergraph Uniform que se llama una cadena cambio si por cualquier hyperedges, , tenemos A ≤ B o B ≤ A . (Por lo tanto, una cadena de cambio tiene como máximo k ( n - k ) + 1 hiperedges).
Decimos que una hipergrafía es de dos colores (o que tiene la Propiedad B) si podemos colorear sus vértices con dos colores de modo que ninguna hiperedificación sea monocromática.
¿Es cierto que las cadenas de cambio son de dos colores si es lo suficientemente grande?
Observaciones Primero publiqué este problema en mathoverflow , pero nadie lo comentó.
El problema se investigó en el 1er Taller Emlektabla para obtener algunos resultados parciales, consulte el folleto .
La pregunta está motivada por la descomposición de múltiples cubiertas del plano mediante traducciones de formas convexas, hay muchas preguntas abiertas en esta área. (Para más información, vea mi tesis doctoral ).
Para hay un contraejemplo trivial: (12), (13), (23).
Radoslav Fulek proporcionó un contraejemplo muy mágico para con un programa de computadora:
(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),
(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).
Si permitimos que la hipergrafía sea la unión de dos cadenas de cambio (con el mismo orden), entonces hay un contraejemplo para cualquier .
Actualizar. Recientemente me las arreglé para mostrar que en esta preimpresión hay dos versiones más restringidas de cadenas de cambio .
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