¿Son las cadenas de cambio de dos colores?


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Para UNA[norte] denotan por unayo el yoth elemento más pequeño de UNA .

Para dos conjuntos de elementos k , A,B[n] , decimos que AB si aibi para cada i .

A k hypergraph Uniform que se llama una cadena cambio si por cualquier hyperedges, , tenemos A B o B A . (Por lo tanto, una cadena de cambio tiene como máximo k ( n - k ) + 1 hiperedges).H[n]A,BHABBAk(nk)+1

Decimos que una hipergrafía es de dos colores (o que tiene la Propiedad B) si podemos colorear sus vértices con dos colores de modo que ninguna hiperedificación sea monocromática.H

¿Es cierto que las cadenas de cambio son de dos colores si es lo suficientemente grande?k

Observaciones Primero publiqué este problema en mathoverflow , pero nadie lo comentó.

El problema se investigó en el 1er Taller Emlektabla para obtener algunos resultados parciales, consulte el folleto .

La pregunta está motivada por la descomposición de múltiples cubiertas del plano mediante traducciones de formas convexas, hay muchas preguntas abiertas en esta área. (Para más información, vea mi tesis doctoral ).

Para k=2 hay un contraejemplo trivial: (12), (13), (23).

Radoslav Fulek proporcionó un contraejemplo muy mágico para k=3 con un programa de computadora:

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).

Si permitimos que la hipergrafía sea la unión de dos cadenas de cambio (con el mismo orden), entonces hay un contraejemplo para cualquier k .

Actualizar. Recientemente me las arreglé para mostrar que en esta preimpresión hay dos versiones más restringidas de cadenas de cambio .

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2
La propiedad B se llama más comúnmente 2-coloración.
Colin McQuillan

1
@Colin McQuillan: Yo también lo pensé porque nunca había escuchado el nombre "Propiedad B". Sin embargo, parece que "Propiedad B" es un nombre común en la literatura. en.wikipedia.org/wiki/Property_B
Tsuyoshi Ito

2
Estoy corregido. También he eliminado mi respuesta incorrecta.
Colin McQuillan

Respuestas:


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Esta no es una respuesta. Lo que sigue es una prueba simple de que la construcción para k = 3 es de hecho un contraejemplo. Creo que el autor de la pregunta conoce esta prueba, pero la publicaré de todos modos porque la prueba es buena y esto podría ser útil cuando las personas consideran el caso de k más grande .

Es fácil verificar que se trata de una cadena de cambio. Demostremos que no tiene la Propiedad B.

De hecho, el subhypergraph {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (569), (789)} ya no satisface la propiedad B. para ver esto, supongamos que esta hypergraph tiene un 2-colorante y dejar que c i ser el color del vértice i . Mire tres hiperedificaciones (145), (245), (345). Si c 4 = c 5 , entonces todos 1, 2 y 3 deben ser del color opuesto a c 4 , pero esto daría una hiperedificación monocromática (123). Por lo tanto, debe ser el caso de que c 4c 5 . Similar,

  • c 3c 4 comparando las tres hiperedificaciones (345), (346), (347) y notando una hiperedificación (567).
  • c 6c 7 comparando las tres hiperedificaciones (367), (467), (567) y notando una hiperedificación (345).
  • c 5c 6 comparando las tres hiperedificaciones (567), (568), (569) y notando una hiperedificación (789).

Por lo tanto, tenemos c 3c 4c 5c 6c 7 . Pero esto implica c 3 = c 5 = c 7 , lo que hace que el hiperedge (357) sea monocromático. Esto contradice la suposición de 2 colores.


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Muy bien dicho, al autor de la pregunta le gusta tu prueba. ¡Gracias por escribirlo!
domotorp

1

Quizás me estoy perdiendo algo, pero creo que hay un buen límite inferior con el método probabilístico:

Si el color de cada vértice indepedently con una probabilidad de para cada color, entonces su tener un borde monocromática con una probabilidad de 2 ( 11/ /22(12)k=2-k+1si

k(norte-k)+12k-1mi-1)
k=Ω(Iniciar sesión(norte))norteIniciar sesión(norte)nortedonorte

O(k/ /En(k)2k)ksi


2
Tiene razón en que si k es lo suficientemente grande en comparación con n, entonces la afirmación es verdadera (por ejemplo, k = n trivialmente). El problema es demostrar que si k es más grande que alguna constante absoluta, es decir, 4, entonces el enunciado es verdadero para cada n.
domotorp

Ok, entonces simplemente ignora la respuesta :)
Marc Bury
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