Relacionar la univalencia de una teoría de las categorías con el concepto de esqueleto

Digamos que trabajo en la teoría del tipo de homotopía y mis únicos objetos de estudio son categorías convencionales.

Las equivalencias aquí son dadas por los functores y que proporcionan equivalencias de las categorías . Existen isomorfismos naturales y para que este functor y functor "inverso" se transforman en unidad functor. G : C ⟶ $F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ α : n a t ( F G , 1 C ) β : n a t ( G F , 1 D${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

Ahora la univalencia relaciona las equivalencias con el tipo de identidad de la teoría del tipo intencional que he elegido para hablar sobre categorías. Como solo trato con categorías y esas son equivalentes si tienen esqueletos isomórficos , me pregunto si puedo expresar el axioma de univalencia en términos de pasar al esqueleto de las categorías.${\bf C}={\bf D}$

O, de lo contrario, ¿puedo definir el tipo de identidad, es decir, la expresión sintáctica de una manera que esencialmente dice "hay un esqueleto (o isomorfo) y y son equivalentes a ambos ".C ${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(En lo anterior trato de interpretar la teoría de tipos en términos de conceptos que son más fáciles de definir: las nociones teóricas de categoría. Pienso en esto porque moralmente, me parece que el axioma "corrige" la teoría de tipos intencional mediante codificación rígida el principio de equivalencia , que ya es una parte natural de la formulación de enunciados teóricos de categoría, por ejemplo, especificar objetos solo en términos de propiedades universales).

Le remito al Capítulo 9 del libro de HoTT. En particular, una categoría se define de tal manera que los objetos isomórficos son iguales, véase la Definición 9.1.6 . Como señala el ejemplo 9.1.15 , en realidad no existe una noción razonable de "esqueletalidad" en HoTT. Esto es así porque la igualdad es tan débil que ya significa "isomorfo".

Además, el teorema 9.4.16 dice

Teorema 9.4.16: Si y son categorías, entonces la función (definida por inducción en el functor de identidad) es una equivalencia de tipos.B ( A = B ) → ( A ≃ B $A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

El teorema nos dice que el axioma de la univalencia nos da una especie de sueño del teórico de la categoría: las categorías equivalentes son iguales.

Usted pregunta si puede reducir el axioma de Univalencia a una declaración sobre categorías. Los intentos de usar esqueletos no funcionarán porque no hay una buena manera de decir "esqueleto". Podríamos preguntarnos si el teorema 9.4.16 implica el axioma de univalencia. Por lo que puedo ver, este no será el caso, porque una categoría tiene un tipo (groupoid) de objetos y un tipo (conjunto) de morfismos, por lo que el teorema 9.4.16 equivale a algo así como el Axioma de univalencia para 1-tipos, solo.$1$$0$