Problemas naturales completos de NP con testigos "grandes"

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La pregunta sobre la teoría " ¿Qué es NP restringido a testigos de tamaño lineal? " Pregunta sobre la clase NP restringida a testigos de tamaño lineal , pero $O(n)$

¿Existen problemas naturales de NP completo en los que (sí) las instancias de tamaño requieren testigos de tamaño mayor que ? $n$ $n$

Claramente podemos construir problemas artificiales como:

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

Después de un rápido vistazo a G&J, cada problema natural de NPC parece tener testigos (estrictamente) más pequeños que . $n$

¿Hay una "razón / explicación" para ello?

cc.complexity-theory np proof-complexity

— Marzio De Biasi
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1

Muchos problemas tienen un tamaño de testigo

, como el isomorfismo gráfico y el camino hamiltoniano. ¿Desea excluir los factores polylog, o eso cuenta como una respuesta?

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— Joshua Grochow

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En realidad, el tamaño del testigo para el isomorfismo gráfico y el camino hamiltoniano podría verse como sublineal en la entrada (dado que la entrada es la matriz de adyacencia

de la gráfica).

n \times n

$n \times n$

— Ryan Williams

1

Oh, cierto ... d'oh.

— Joshua Grochow

1

@MarzioDeBiasi Creo que su observación de pequeños testigos debería usarse para definir el problema natural de NP completo.

— Mohammad Al-Turkistany

1

@MarzioDeBiasi - Estoy de acuerdo en que una lista de las tareas satisfactorias es suficiente, pero ¿puede probar que no hay un testigo más corto del problema? (tal vez una forma sucinta de representar las tareas necesarias).

— RB

10

¿Qué tal el número de coloración de borde en un gráfico denso (también conocido como índice cromático )? Se le da la matriz de adyacencia de un gráfico de vértices ( entrada de bits), pero el testigo natural que describe el color tiene un tamaño . Por supuesto, puede haber pruebas más cortas para gráficos de clase 1 en el teorema de Vizing . $n$ $n^2$ $n^2\log n$

Ver también esta pregunta posiblemente relacionada

— Andreas Björklund
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2

¡Parece un buen ejemplo! Solo una nota: el problema es NP-completo incluso para gráficos cúbicos; en ese caso tenemos que un testigo de talla

bits es suficiente (dos bits para cada borde) que es menor que

si usamos la representación de matriz de adyacencia y sospecho que es menor que el tamaño de la instancia, sea cual sea la codificación razonable que usemos para el gráfico cúbico.

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— Marzio De Biasi

8

Me encontré con algunos problemas bastante naturales de NP completo que aparentemente requieren testigos largos. Los problemas, parametrizados por los enteros y son los siguientes: $C$ $D$

Entrada: Una cinta TM Pregunta: ¿Hay alguna , de modo que realice más de pasos en alguna entrada de longitud ? $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

A veces, el complemento del problema es más fácil de estado: ¿Una sola cinta dado TM de ejecución en el tiempo , es decir. ¿realiza a lo sumo pasos de en todas las entradas de tamaño , para todas las ? $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

El resultado completo se presenta aquí . Básicamente, se muestra que si queremos verificar si una TM de una cinta se ejecuta en el tiempo , solo necesitamos verificar esto en las entradas de longitud delimitadas por , donde es el número de estados de la entrada TM. Entonces, el testigo sería la entrada de longitud para la cual se viola el límite de tiempo. También se muestra en la referencia que estos problemas son NP-completos para todos los y . $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

Ahora, si el testigo es una entrada que viola el tiempo de ejecución, debe ser de longitud en general. Y la entrada es de longitud . $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— David G
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3

¡Gracias! Pero, para ser honesto, encuentro más "natural" (sé que no es un concepto formal) el problema: "Dada una fórmula

, decida si tiene al menos

tareas satisfactorias" :-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Marzio De Biasi

Entiendo :). Por otro lado, el problema sobre

tiene la longitud del testigo en la pregunta, mientras que el problema sobre los TM obtiene la longitud del testigo en la prueba. Además, la longitud del testigo no se incorpora intencionalmente al problema.

φ

$\varphi$

— David G

7

Aquí hay un ejemplo, que parece un problema natural.

Ejemplo: números enteros positivos, y , todos acotada superiormente por . $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

Pregunta: ¿Existe un gráfico colorable con secuencia de grados ? $k$ $d_1,\ldots,d_n$

Aquí la entrada puede describirse con bits , pero el testigo puede requerir bits . $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

Observación: no tengo una referencia de que este problema en particular sea NP-complete. Pero el requisito de colorabilidad podría ser reemplazado por cualquier otra condición NP-completa; el problema probablemente se convertirá en NP completo para alguna condición, si no es para esta. $k$

— Andras Farago
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Para mí, este problema tiene el tipo incorrecto de estructura para ser NP completo, a menos que P = NP. Las clases de gráficos definidos por cada secuencia de grados pueden ser muy grandes, y muchos de ellos pueden tener elementos

incoloros por una razón trivial.

n

$n$

— András Salamon

@ AndrásSalamon De hecho, no sé cuál es la complejidad de este problema, o si se puede completar NP seleccionando una condición apropiada en lugar de

coloración. Por otro lado, me sorprendería si para cada propiedad

comprobable polytime el siguiente problema estaría en P : ¿existe un gráfico con una secuencia de grados dada, de modo que también tenga la propiedad

?

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— Andras Farago

Estoy de acuerdo en que parece poco probable que la secuencia de grados + propiedad esté siempre en P, pero ¿quizás algunos de estos son candidatos para el estado intermedio NP?

— András Salamon

@ AndrásSalamon Sí, me imagino que algunos de ellos tienen el estado NPI.

— Andras Farago

6

Tal vez esta sea una "razón / explicación" tonta, pero para muchos problemas de NP-Complete, una solución es un subconjunto de la entrada (mochila, cubierta de vértice, camarilla, conjunto dominante, conjunto independiente, corte máximo, suma de subconjunto, ... ) o una permutación o asignación a un subconjunto de la entrada (ruta hamiltoniana, vendedor ambulante, SAT, isomorfismo gráfico, coloración gráfica, ...).

Podríamos tratar de leer más en eso que eso, o llegar a una razón más elaborada, pero no estoy seguro de si hay algo más profundo o no.

— usul
fuente

Creo que esta es una buena "primera idea". A veces los problemas no pueden clasificarse sin ambigüedades. Por ejemplo, SAT también podría ser un problema de subconjunto ("elija un subconjunto de variables verdaderas"). ¿O HAMCYCLE es un problema de permutación en los vértices o un problema de subconjunto en los bordes? (Por cierto, tal vez los "problemas de asignación" realmente podrían ser "problemas de partición", piense en decir 3 colores).

— Juho

3

En cuanto a su primera pregunta, Allender afirma (en Amplificación de límites inferiores por medios de auto-reducibilidad ) que no se conoce ningún problema natural de NP completo fuera de NTIME (n). Esto significa que todos los conjuntos completos NP naturales conocidos tienen testigos de tamaño lineal.

— Mohammad Al-Turkistany
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1

Tenga en cuenta que la longitud del camino de aceptación más largo en la máquina de Turing no determinista corresponde al tamaño del testigo.

— Mohammad Al-Turkistany

1

Considere la siguiente variante del problema MAXCLIQUE .

Instancia: Un circuito con bits de entrada, y de tamaño polinomialmente limitado en . Este circuito determina implícitamente un gráfico en vértices, de modo que cada vértice se identifica con una cadena de bits, y dos vértices están conectados con un borde si la cadena de bits que se obtiene al concatenar las dos ID de vértice, es aceptado por . Deje denotar este gráfico. Nota que tiene exponencialmente muchos vértices en , pero aún así se determina por la descripción del tamaño polinomio de . $C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

Pregunta: ¿ contiene una camarilla de tamaño , donde es una constante fija? $G(C)$ $n^k$ $k$

Notas:

El problema es NP-completo. La contención en es obvia. La integridad se puede demostrar observando que si el circuito acepta solo pares de vértices en los que cada ID es a lo sumo , entonces puede ser un gráfico arbitrario de -vértices más muchos vértices aislados. (Cualquiera de estos gráficos de -vértices se puede codificar en , ya que se permite que tenga un tamaño polinómico en , y también en ). Entonces la pregunta es: ¿hay una camarilla de tamaño en un $NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ gráfico de vértices? Esto es conocido por ser NP-completo, para general . El problema de que no es arbitrario, está restringido a , puede eliminarse mediante el relleno apropiado. $N$ $N$ $N=2n^k$
El testigo natural del problema original es la camarilla de tamaño , que puede describirse mediante una cadena larga (una cadena de bits para cada uno de los vértices). Tenga en cuenta que puede ser una constante muy grande, por lo que el testigo puede ser mucho más largo que lineal. (Incluso si el tamaño de entrada es la descripción de , en lugar de , este testigo puede ser mucho más largo, porque se puede elegir independientemente de ). $n^k$ $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
El problema puede verse como natural, ya que es una variante de MAXCLIQUE .
Cuando Allender escribió "no se sabe que ningún problema natural de NP completo se encuentre fuera de " (ver Amplificación de límites inferiores por medios de auto-reducibilidad , Sección 7), puede haber tenido un concepto más limitado de naturalidad en mente. Por ejemplo, lo natural podría reducirse a algo que la gente realmente quiere resolver sobre la base de motivaciones prácticas e independientes. No es suficiente si el problema no se construye a través de la diagonalización. $NTIME(n)$

— Andras Farago
fuente

No estoy seguro de seguir su reducción de Half-Clique a este problema, para establecer la integridad en NP. Dada una instancia

-vertex de Half-Clique, ¿a qué circuito se asigna?

n

$n$

— András Salamon

@ AndrásSalamon Sea

un gráfico

-vertex, que sirve como gráfico de entrada de Half-Clique. Entonces

es el circuito que acepta cualquier par de nodos

, si

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

(como números binarios) y

, de lo contrario

rechaza. (Esta

puede implementarse como un circuito de tamaño polinómico). Entonces

contendrá

en los primeros

nodos, más

nodos aislados adicionales. El gráfico

tiene una camarilla de tamaño

precisamente cuando

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$ tiene una media camarilla.

— Andras Farago