¿Dónde se explora la parametridad relacional en modelos de hiperdoctrina o topos?

Reynolds propuso originalmente una semántica relacional para el cálculo lambda polimórfico de segundo orden [1]. Sin embargo, más tarde mostró [2] que este enfoque era inconsistente con la teoría de conjuntos clásica. Pitts describió el marco de los modelos de hiperdoctrina y modelos de topos [3] que son consistentes con la lógica constructiva.

Presumiblemente, se desarrollaron modelos de hiperdoctrina y topos relacionales. ¿Dónde puedo leer sobre ellos?

• [1] Tipos, abstracción y polimorfismo paramétrico
• [2] El polimorfismo no es teórico de conjuntos
• [3] El polimorfismo se establece teóricamente, constructivamente

• Por razones técnicas, no ha habido mucho trabajo en los modelos topos paramétricos. La lógica interna de un topos es una forma de teoría de conjuntos, y la indexación impredecible de estilo F y el axioma del conjunto de potencia son incompatibles. Vea Los tipos de poder no triviales de Andy Pitts no pueden ser subtipos de tipos polimórficos :

  Este artículo establece una nueva relación limitativa entre el cálculo lambda polimórfico y el tipo de teoría del tipo de orden superior que se materializa en la lógica de los topos. Se muestra que cualquier inclusión en un topos de la categoría cerrada cartesiana de tipos (cerrados) de un modelo del cálculo lambda polimórfico debe colocar los tipos polimórficos lejos de los tipos de energía, P (X), de los topos, en el sentido que P (X) es un subtipo de tipo polimórfico solo en el caso de que X esté vacío (y, por lo tanto, P (X) sea terminal). Como corolarios, obtenemos fortalecimientos del resultado de Reynolds sobre la inexistencia de modelos teóricos de polimorfismo.

  Como resultado, aunque puede dar a un universo la interpretación de los tipos de F en la lógica de topos, no puede dejar que interactúe de manera interesante con el universo completo de conjuntos. ¡Sin embargo, no todo está perdido!

  1. $F_\omega$

  2. Otra reacción al resultado de Pitts es no trabajar con una teoría de conjuntos, sino con una teoría de tipo dependiente. Como no existe un tipo de potencia anterior en la teoría del tipo dependiente, no tiene que preocuparse por la interacción de los tipos de potencia y el polimorfismo. Ver Atkey, Ghani y Johann, Un modelo relacionalmente paramétrico de la teoría del tipo dependiente .

• Sin embargo, no existen tales obstáculos para construir modelos hiperdoctrina-ish, donde los términos del Sistema F son objetos de la lógica. La investigación en este sentido probablemente fue iniciada por Abadi y Plotkin en su artículo seminal A Logic for Parametric Polymorphism . Lars Birkedal y sus colaboradores han trabajado mucho en la formulación de modelos categóricos para esta y otras lógicas similares. Vea en particular los Modelos Teóricos de Categoría de Birkedal, Møgelberg y Petersen de Linear Abadi y Plotkin Logic , que proporciona una lógica para razonar sobre el Sistema lineal F , más una prueba de que es sólido y completo con respecto a una determinada clase de modelos categóricos.